Some limit theorems for the critical Galton–Watson branching processes

Kh.  Kudratov; Ya.  Khusanbaev

doi:10.37863/umzh.v75i4.6781

Kh. Kudratov National University of Uzbekistan, Tashkent
Ya. Khusanbaev Institute of Mathematics, Tashkent, Uzbekistan

DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v75i4.6781

Анотація

УДК 519.21

Деякі граничні теореми для критичних розгалужених процесів Гальтона–Ватсона

Розглянуто критичні процеси Гальтона–Ватсона, починаючи з випадкової кількості частинок, та визначено вплив середнього значення початкового стану на асимптотичний стан процесу. Для процесів, що починаються з великої кількості частинок і задовольняють умову $(S),$ доведено граничну теорему, подібну до результату В. Феллера. Також доведено теорему за умови, що $W(n)>0$ для критичних процесів, які задовольняють умови $(S)$ і $(M).$

Посилання

T. E. Harris, The theory of branching processes, Springer-Verlag, Berlin etc. (1963). DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-51866-9

A. N. Kolmogorov, K resheniyu odnoi biologicheskoi zadachi, Izv. NII Mat. Mekh. Tomskogo Univ., 2, № 1 (1938) (in Russian).

A. M. Yaglom, Nekotorye predelnye teoremy teorii vetvyashchikhsya sluchainykh protsessov, Dokl. AN SSSR, 56, № 8, 795–798 (1947) (in Russian).

F. Spitzer, H. Kesten, P. Ney, The Galton–Watson process with mean one and finite variance, Theory Probab. and Appl., 11, № 4, 513–540 (1966). DOI: https://doi.org/10.1137/1111059

V. M. Zolotarev, More exact statements of several theorems in the theory of branching processes, Theory Probab. and Appl., 2, № 2, 245–253 (1957). DOI: https://doi.org/10.1137/1102016

R. S. Slack, A branching process with mean one and possibly infinite variance, Z. Wahrscheinlichkeitstheor. und verw. Geb., 9, 139–145 (1968). DOI: https://doi.org/10.1007/BF01851004

W. Feller, Diffusion processes in genetics, Proc. 2nd Berkeley Symp. Math. Statist. and Probab., 227–246 (1951).

K. V. Mitov, G. K. Mitov, N. M. Yanev, Limit theorems for critical randomly indexed branching processes, Workshop on Branching Processes and their Applications, Springer (2010). DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-11156-3_7

S. V. Nagaev, V. Wachtel, The critical Galton–Watson process without further power moments, J. Appl. Probab., 44, № 3, 753–769 (2007). DOI: https://doi.org/10.1239/jap/1189717543

E. Seneta, Regularly varying functions, Lect. Notes Math., 508, Springer, Berlin (1976). DOI: https://doi.org/10.1007/BFb0079658