Results for retarded nonlinear integral inequalities with mixed powers and their applications to delay integro-differential equations

А.  Shakoor; M.  Samar; T.  Athar; M.  Saddique

doi:10.37863/umzh.v75i3.6903

А. Shakoor Department of Mathematics, the Islamia University of Bahawalpur, Pakistan
M. Samar College of Mathematics and Computer Science, Zhejiang Normal University, Jinhua, China
T. Athar Department of Computer Science, Shaheed Zul kar Ali Bhutto Institute of Science and Technology, Islamabad, Pakistan
M. Saddique Khwaja Fareed University of Engineering and Information Technology, Rahim Yar Khan, Pakistan

DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v75i3.6903

Анотація

УДК 517.9

Результати для сповільнених нелінійних інтегральних нерівностей з мішаними степенями та їх застосування до інтегро-диференціальних рівнянь із запізненням

Запропоновано нові сповільнені нелінійні інтегральні нерівності з мішаними степенями. Отримані нерівності можуть бути використані для дослідження обмеженості та глобального існування розв’язків інтегро-диференціального рівняння із запізненням та інтегрального рівняння типу Вольтерра із запізненням. Ці нерівності розширюють деякі результати, наведені в літературі. Крім того, розглянуто два приклади, що демонструють корисність отриманих основних результатів.

Посилання

A. A. Boichuk, A. M. Samoilenko, Generalized inverse operators and Fredholm boundary value problems, Second ed., Walter de Gruyter, Berlin, Boston (2016). DOI: https://doi.org/10.1515/9783110378443

A. M. Samoilenko, A. A. Boichuk, S. A. Krivosheya, Boundary-value problems for systems of integro-differential equations with degenerate kernel, Ukr. Math. J., 48, № 12, 1785–1789 (1996). DOI: https://doi.org/10.1007/BF02529500

A. A. Boichuk, L. M. Shegda, Bifurcation of solutions of singular Fredholm boundary value problems, Different. Equat., 47, 453–461 (2011). DOI: https://doi.org/10.1134/S001226611104001X

G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Polya, Inequalities, 2nd ed., Cambridge Univ. Press, London, New York (1952).

B. G. Pachpatte, Integral and finite difference inequalities and applications, Elsevier Sci. (2006). DOI: https://doi.org/10.1016/S0304-0208(06)80018-6

B. G. Pachpatte, Inequalities for differential and integral equations, Acad. Press, London (1998).

D. S. Mitrinovic, Analytic inequalities, Springer-Verlag, Berlin, New York (1970).

D. D. Bainov, P. Simeonov, Integral inequalities and applications, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht (1992). DOI: https://doi.org/10.1007/978-94-015-8034-2

T. H. Hilderbrandt, Introduction to the theory of integration, Acad. Press, New York (1963).

T. H. Gronwall, Note on the derivative with respect to a parameter of the solutions of a system of differential equations, Ann. Math., 20, 292–296 (1919). DOI: https://doi.org/10.2307/1967124

R. Bellman, The stability of solutions of linear differential equations, Duke Math. J., 10, 643–647 (1943). DOI: https://doi.org/10.1215/S0012-7094-43-01059-2

A. Shakoor, I. Ali, M. Azam, A. Rehman, M. Z. Iqbal, Further nonlinear retarded integral inequalities for Gronwall–Bellman type and their applications, Iran. J. Sci. and Technol. Trans. A Sci., 43, 2559–2568 (2019). DOI: https://doi.org/10.1007/s40995-019-00745-x

O. Lipovan, A retarded Gronwall-like inequality and its applications, J. Math. Anal. and Appl., 252, 389–401 (2000). DOI: https://doi.org/10.1006/jmaa.2000.7085

A. Abdeldaim, A. A. El-Deeb, On generalized of certain retarded nonlinear integral inequalities and its applications in retarded integro-differential equations, Appl. Math. and Comput., 256, 375–380 (2015). DOI: https://doi.org/10.1016/j.amc.2015.01.047

Z. Z. Li, W. S. Wang, Some nonlinear Gronwall–Bellman type retarded integral inequalities with power and their applications, Appl. Math. and Comput., 347, 839–852 (2019). DOI: https://doi.org/10.1016/j.amc.2018.10.019

Y. Z. Tian, M. Fan, Nonlinear integral inequality with power and its application in delay integro-differential equations, Adv. Different. Equat., 142 (2020). DOI: https://doi.org/10.1186/s13662-020-02596-y

Y. Z. Tian, Y. L. Cai, Y. G. Sun, Asymptotic behavior of switched delay systems with nonlinear disturbances, Appl. Math. and Comput., 268, 522–533 (2015). DOI: https://doi.org/10.1016/j.amc.2015.06.073

I. Bihari, A generalization of a lemma of Bellman and its application to uniqueness problems of differential equations, Acta Math. Acad. Sci. Hungar., 7, 71–94 (1956). DOI: https://doi.org/10.1007/BF02022967

A. Shakoor, I. Ali, S. Wali, A. Rehman, Some generalizations of retarded nonlinear integral inequalities and its applications, J. Math. Inequal., 14, 1223–1235 (2020). DOI: https://doi.org/10.7153/jmi-2020-14-79

H. El-Owaidy, A. Ragab, W. Abuelela, A. A. El-Deeb, On some new nonlinear integral inequalities of Gronwall–Bellman type, Kyungpook Math. J., 54, 555–575 (2014). DOI: https://doi.org/10.5666/KMJ.2014.54.4.555