Uniform approximations by Fourier sums on the sets of convolutions of periodic functions of high smoothness

  • A. Serdyuk Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv
  • T. Stepaniuk Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv

Abstract

UDC 517.5

On the sets of $2\pi$-periodic functions $f$ specified by the $(\psi, \beta)$-integrals of the functions $\varphi$ from $L_{1},$ we establish Lebesgue-type inequalities in which the uniform norms of deviations of the Fourier sums are expressed via the best approximations by trigonometric polynomials of the functions  $\varphi$ in the mean. It is proved that obtained estimates are asymptotically unimprovable in the case where the sequences $\psi(k)$ approach zero faster than any power function.  In some important cases, we establish  asymptotic equalities for the exact upper boundaries of the uniform approximations by Fourier sums in the classes of  $(\psi, \beta)$-integrals of the functions  $\varphi$ that belong to the unit ball in the space  $L_{1}.$

References

Н. И. Ахиезер, Лекции по теории аппроксимации, Мир, Москва (1965).

В. К. Дзядык, Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами, Наука, Москва (1977).

L. Fejer, Lebesguesche Konstanten und divergente Fourierreihen, J. reine und angew. Math., 138, 22–53 (1910). DOI: https://doi.org/10.1515/crll.1910.138.22

П. В. Галкин, Оценки для констант Лебега, Тр. Мат. ин-та АН СССР, 109, 3–5 (1971).

В. В. Жук, Г. И.Натансон, Тригонометрические ряды и элементы теории аппроксимации, Изд-во Ленинград. ун-та (1983).

A. Kolmogoroff, Zur Grössenordnung des Restgliedes Fourierschen Reihen differenzierbaren Funktionen, Ann. Math. (2), 36, № 2, 521–526 (1935). DOI: https://doi.org/10.2307/1968585

Н. П. Корнейчук, Точные константы в теории приближения, Наука, Москва (1987).

А. П. Мусієнко, А. С. Сердюк, Нерівності типу Лебега для сум Валле Пуссена на множинах аналітичних функцій, Укр. мат. журн., 65, № 4, 522-537 (2013).

А. П. Мусієнко, А. С. Сердюк, Нерівності типу Лебега для сум Валле Пуссена на множинах цілих функцій, Укр. мат. журн., 65, № 5, 642–653 (2013).

Г. И. Натансон, Об оценке констант Лебега сумм Валле–Пуссена, Геометрические вопросы теории функций и множеств, Калинин (1986).

С. М. Никольский, Приближение функций тригонометрическими полиномами в среднем, Изв. АН СССР. Сер. мат., 10, № 3, 207–256 (1946).

А. С. Сердюк, Наближення класів аналітичних функцій сумами Фур'є в рівномірній метриці, Укр. мат. журн., 57, № 8, 1079–1096 (2005).

А. С. Сердюк, Наближення класів аналітичних функцій сумами Фур'є в метриці простору $L_p$, Укр. мат. журн., 57, № 10, 1395–1408 (2005).

А. С. Сердюк, А. П. Мусієнко, Нерівності типу Лебега для сум Валле Пуссена при наближенні інтегралів Пуассона, Теорія наближення функцій та суміжні питання, 7, № 1, 298–316 (2010).

A. S. Serdyuk, I. V. Sokolenko, Approximation by Fourier sums in classes of differentiable functions with high exponents of smoothness, Methods Funct. Anal. and Top., 25, № 4, 381–387 (2019).

А. С. Сердюк, І. В. Соколенко, Наближення сумами Фур’є на класах диференційовних у сенсі Вейля–Надя функцій із високим показником гладкості, Укр. мат. журн., 74, № 5, 685–700 (2022). DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v74i5.7136

А. С. Сердюк, Оцінки найкращих наближень класів нескінченно диференційовних функцій у рівномірній та інтегральній метриках, Укр. мат. журн., 66, № 9, 1244–1256 (2014).

А. С. Сердюк, Т. А. Степанюк, Рівномірні наближення сумами Фур’є на класах згорток з інтегралами Пуассона, Доп. НАН України, № 11, 10–16 (2016). DOI: https://doi.org/10.15407/dopovidi2016.11.010

А. С. Сердюк, Т. А. Степанюк, Наближення класів узагальнених інтегралів Пуассона сумами Фур’є в метриках просторів $L_{s}$, Укр. мат. журн., 69, № 5, 695–704 (2017).

A. S. Serdyuk, T. A. Stepanyuk, Uniform approximations by Fourier sums on classes of generalized Poisson integrals, Anal. Math., 45, № 1, 201–236 (2019). DOI: https://doi.org/10.1007/s10476-018-0310-1

A. S. Serdyuk, T. A. Stepanyuk, Asymptotically best possible Lebesque-type inequalities for the Fourier sums on sets of generalized Poisson integrals, Filomat, 34, № 14, 4697–4707 (2020). DOI: https://doi.org/10.2298/FIL2014697S

A. S. Serdyuk, T. A. Stepanyuk, About Lebesgue inequalities on the classes of generalized Poisson integrals, Jaen J. Approx., 12, 25–40 (2021).

А. И. Степанец, Классификация периодических функций и скорость сходимости их рядов Фурье, Изв. АН СССР. Сер. мат., 50, № 1, 101–136 (1986).

А. И. Степанец, Классификация и приближение периодических функций}, Наук. думка, Киев (1987).

А. И. Степанец, Методы теории приближений}: в 2 ч., Пр. Iнституту математики НАН України, 40, ч. 1 (2002).

А. И.Степанец, Методы теории приближений}: в 2 ч., Пр. Iнституту математики НАН України, 40, ч. 2 (2002).

A. I. Stepanets, On the Lebesgue inequality on classes of $(psi,beta)$-differentiable functions, Ukr. Math. J., 41, № 4, 435–443 (1989). DOI: https://doi.org/10.1007/BF01060622

А. И. Степанец, А. C. Сердюк, Неравенства Лебега для интегралов Пуассона, Укр. мат. журн., 52, № 6, 798-808 (2000).

А. И. Степанец, А. С. Сердюк, Приближение суммами Фурье и наилучшие приближения на классах аналитических функций, Укр. мат. журн., 52, № 3, 375–395 (2000).

О. І. Степанець, А. С. Сердюк, А. Л. Шидліч, Про деякі нові критерії нескінченної диференційовності періодичних функцій, Укр. мат. журн., 59, № 10, 1399–1409 (2007).

А. И. Степанец, А. С. Сердюк, А. Л. Шидлич, Классификация бесконечно дифференцируемых функций, Укр. мат. журн., 60, № 12, 1686–1708 (2008).

С. Б. Стечкин, Оценка остатка ряда Фурье для дифференцируемых функций. Приближение функций полиномами и сплайнами, Тр. Мат. ин-та АН СССР, 145, 126–151 (1980).

С. А. Теляковский, О нормах тригонометрических полиномов и приближении дифференцируемых функций линейными средними их рядов Фурье. I, Тр. Мат. ин-та АН СССР, 62, 61–97 (1961).

С. А. Теляковский, Приближение дифференцируемых функций частными суммами их рядов Фурье, Мат. заметки, 4, № 3, 291–300 (1968).

С. А. Теляковский, О приближении суммами Фурье функций высокой гладкости, Укр. мат. журн., 41, № 4, 510–518 (1989).

Published
10.05.2023
How to Cite
Serdyuk, A., and T. Stepaniuk. “Uniform Approximations by Fourier Sums on the Sets of Convolutions of Periodic Functions of High Smoothness”. Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal, Vol. 75, no. 4, May 2023, pp. 542 -67, doi:10.37863/umzh.v75i4.7411.
Section
Research articles