Meromorphic functions sharing three values with their shift

Sujoy Majumder; Pradip Das

doi:10.3842/umzh.v76i5.7502

Sujoy Majumder Department of Mathematics, Raiganj University, West Bengal, India
Pradip Das Department of Mathematics, Raiganj University, West Bengal, India

DOI: https://doi.org/10.3842/umzh.v76i5.7502

Анотація

УДК 517.5

Мероморфні функції, що поділяють три значення з їхнім зсувом

Обговорено проблему єдиності мероморфної функції $f(z)$, що має спільні $a_1(z)$, $a_2(z)$ і $a_3(z)$ CM зі своїм зсувом $f(z+c )$, де $a_1(z)$, $a_2(z)$ і $a_3(z)$ — три $c$-періодичні різні малі функції від $f(z)$ та $c\in\mathbb{C }\setminus\{0\}$. Отриманий результат покращує останній результат Heittokangas та ін. [Complex Var. and Elliptic Equat., 56, No. 1–4, 81–92 (2011)] , оскільки відкинуто припущення про порядок $f(z)$. Крім того, запропоновано спосіб характеризації еліптичних функцій у термінах мероморфних функцій, що поділяють значення з двома своїми зсувами. Насамкінець, на основі розгляду низки ілюстративних прикладів, показано, що одержані результати є найкращими у певному сенсі.

Посилання

Y. M. Chiang, S. J. Feng, On the Nevanlinna characteristic of $f(z +η)$ and difference equations in the complex plane, Ramanujian J., 16, № 1, 105–129 (2008). DOI: https://doi.org/10.1007/s11139-007-9101-1

G. G. Gundersen, K. Tohge, Unique range sets for polynomials or rational functions, Progress in Analysis, 235–246 (2003). DOI: https://doi.org/10.1142/9789812794253_0028

R. G. Halburd, R. J. Korhonen, Nevanlinna theory for the difference operator, Ann. Acad. Sci. Fenn. Math., 31, № 2, 463–478 (2006).

R. Halburd, R. Korhonen, K. Tohge, Holomorphic curves with shift-invariant hyperplane preimages, Trans. Amer. Math. Soc., 366, 4267–4298 (2014). DOI: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-2014-05949-7

W. K. Hayman, Meromorphic functions, Clarendon Press, Oxford (1964).

J. Heittokangas, R. Korhonen, I. Laine, J. Riepp, J. Zhang, Value sharing results for shifts of meromorphic functions and sufficient conditions for periodicity, J. Math. Anal. and Appl., 355, 352–363 (2009). DOI: https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2009.01.053

J. Heittokangas, R. Korhonen, I. Laine, J. Rieppo, Uniqueness of meromorphic functions sharing values with their shifts, Complex Var. and Elliptic Equat., 56, № 1–4, 81–92 (2011). DOI: https://doi.org/10.1080/17476930903394770

K. Liu, I. Laine, A note on value distribution of difference polynomials, Bull. Aust. Math. Soc., 81, 353–360 (2010). DOI: https://doi.org/10.1017/S000497270900118X

R. Nevanlinna, Einige Eindeutigkeitssätze in der Theorie der meromorphen Funktionen, Acta Math., 48, 367–391 (1926). DOI: https://doi.org/10.1007/BF02565342

K. Niino, M. Ozawa, Deficiencies of an entire algebroid function, Kodai Math. Semin. Rep., 22, № 1, 98–113 (1970). DOI: https://doi.org/10.2996/kmj/1138846064

L. A. Rubel, C. C. Yang, Values shared by an entire function and its derivative, Lecture Notes in Math., 599, 101–103 (1977). DOI: https://doi.org/10.1007/BFb0096830

K. Yamanoi, The second main theorem for small functions and related problems, Acta Math., 192, 225–294 (2004). DOI: https://doi.org/10.1007/BF02392741

C. C. Yang, H. X. Yi, Uniqueness theory of meromorphic functions, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht etc. (2003). DOI: https://doi.org/10.1007/978-94-017-3626-8

H. X. Yi, Unicity theorems for meromorphic functions that share three values, Kodai Math. J., 18, 300–314 (1995). DOI: https://doi.org/10.2996/kmj/1138043427

J. Zhang, H. Y. Kang, L. W. Liao, Entire functions sharing a small entire function with their difference operators, Bull. Iranian Math. Soc., 41, № 5, 1121–1129 (2015).