Деякі точні нерівності типу Ландау–Колмогорова–Надя у просторах Соболєва функцій багатьох змінних

Владислав Бабенко; Віра Бабенко; Oлег Коваленко; Наталія Парфінович

doi:10.3842/umzh.v75i10.7680

Владислав Бабенко Дніпровський національний університет імені Олеся Гончара
Віра Бабенко Університет Дрейка, Де-Мойн, США
Oлег Коваленко Дніпровський національний університет імені Олеся Гончара
Наталія Парфінович Дніпровський національний університет імені Олеся Гончара

DOI: https://doi.org/10.3842/umzh.v75i10.7680

Ключові слова: Нерівність типу Надя і Ландау -- Колмогорова, заряд, градієнт, мішана похідна

Анотація

УДК 517.5

Для функцій $f$ простору Соболєва $W^{1,p}(C)$ ($C\subset R^d$ - відкритий опуклий конус) отримано точну нерівність, яка оцінює $\| f\|_{L_{\infty}}$ через ${L_{p}}$-норму її градієнта і деяку її напівнорму. За допомогою цієї нерівності доведено точну нерівність, яка оцінює $ {L_{\infty}}$-норму похідної Радона-Нікодима заряду, означеного на вимірних за Лебегом підмножинах $C,$ через $L_p$-норму градієнта цієї похідної та значення на ньому деякої напівнорми. У випадку $C=R_+^m\times R^{d-m},$ $0\le m\le d,$ отримано нерівності, які оцінюють $ {L_{\infty}}$-норму мішаної похідної функції $f\colon C\to R$ через $ {L_{\infty}}$-норму функції та $L_p$-норму градієнта її мішаної похідної.

Посилання

E. Landau, Einige Ungleichungen für zweimal differenzierbare Funktion, Proc. London Math. Soc., 13, 43–49 (1913). DOI: https://doi.org/10.1112/plms/s2-13.1.43

А. Н. Колмогоров, О неравенствах между верхними гранями последовательных производных функции на бесконечном интервале, Уч. зап. МГУ. Математика, 30, № 3, 3–13 (1939).

B. Sz.-Nagy, Über Integralungleichungen zwischen einer Funktion und ihrer bleitung, Acta Sci. Math., 10, 64–74 (1941).

В. Ф. Бабенко, Н. П. Корнейчук, В. А. Кофанов, С. А. Пичугов, Неравенства для производных и их приложения, Наук. думка, Киев (2003).

V. Babenko, O. Kovalenko, N. Parfinovych, On approximation of hypersingular integral operators by bounded ones, J. Math. Anal. and Appl., 513, № 2, Article 126215 (2022). DOI: https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2022.126215

V. F. Babenko, V. V. Babenko, O. V. Kovalenko, N. V. Parfinovych, On Landau–Kolmogorov type inequalities for charges and their applications, Res. Math., 31, № 1б, 3–16 (2023). DOI: https://doi.org/10.15421/242301

V. F. Babenko, V. V. Babenko, O. V. Kovalenko, N. V. Parfinovych, Nagy type inequalities in metric measure spaces and some applications}; arXiv:2306.11016 (2023). DOI: https://doi.org/10.15330/cmp.15.2.563-575

Yu. M. Berezanski, G. F. Us, Z. G. Sheftel, Functional analysis, Elsevier Sci. (2003).