Про асимптотику розв'язків стохастичних диференціальних рівнянь зі стрибками

Віктор Юськович

doi:10.3842/umzh.v75i11.7684

Віктор Юськович Національний технічний університет України ,,КПІ імені~Ігоря~Сікорського'', Київ

DOI: https://doi.org/10.3842/umzh.v75i11.7684

Ключові слова: стохастичне диференціальне рівняння, стрибки, асимптотика, еквівалентність

Анотація

УДК 519.21

Розглянуто одновимірне стохастичне диференціальне рівняння зі стрибками $$dX(t) = a(X(t))dt + \sum_{k = 1}^m b_k(X(t-))dZ_k(t),$$ де $Z_k,$ $k \in \{1, 2, \ldots , m\},$ – незалежні центровані процеси Леві зі скінченними другими моментами. Доведено, що якщо коефіцієнт $a(x)$ має деяку степеневу асимптотику при $x \to \infty,$ а коефіцієнти $b_k,$ $ k \in \{1, 2, \ldots , m\},$ задовольняють певну умову на зростання, то розв'язок $X(t)$ м. н. має таку ж асимптотику при $t \to \infty,$ що і розв'язок звичайного диференціального рівняння $dx(t) = a(x(t))dt$.

Посилання

V. V. Buldygin, O. A. Tymoshenko, On the exact order of growth of solutions of stochastic differential equations with time-dependent coefficients, Theory Stoch. Process., 16, № 2, 12–22 (2010).

A. Friedman, Stochastic differential equations and applications, Courier Corp. (2012).

I. I. Gikhman, A. V. Skorokhod, Stochastic differential equations and their applications, Naukova Dumka, Kiev (1982).

G. Keller, G. Kersting, U. Rösler, On the asymptotic behavior of solutions of stochastic differential equations, Z.~Wahrscheinlichkeitstheor. und verw. Geb., 68, 163–189 (1984). DOI: https://doi.org/10.1007/BF00531776

O. I. Klesov, O. A. Tymoshenko, Unbounded solutions of stochastic differential equations with time-dependent coefficients, Ann. Univ. Sci. Budapest. Sect. Comput., 41, 25–35 (2013).

H. Kunita, Stochastic ows and jump-diffusions, Springer (2019). DOI: https://doi.org/10.1007/978-981-13-3801-4

H. Kunita, S. Watanabe, On square integrable martingales, Nagoya Math. J., 30, 209–245 (1967). DOI: https://doi.org/10.1017/S0027763000012484

X. Mao, Exponential stability of stochastic differential equations, Marcel Dekker (1994).

I. Pavlyukevich, A. Pilipenko, Generalized Peano problem with Lévy noise, Electron. Commun. Probab., 25(85), 1–14 (2020). DOI: https://doi.org/10.1214/20-ECP365

A. Pilipenko, F. N. Proske, On perturbations of an ODE with non-Lipschitz coefficients by a small self-similar noise, Statist. Probab. Lett., 132, 62–73 (2018). DOI: https://doi.org/10.1016/j.spl.2017.09.005

A. Pilipenko, F. N. Proske, On a selection problem for small noise perturbation in the multidimensional case, Stochast. and Dyn., 18, № 6, Article 1850045 (2018). DOI: https://doi.org/10.1142/S0219493718500454

A. Samoilenko, O. Stanzhyts'kyi, I. Novak, On asymptotic equivalence of solutions of stochastic and ordinary equations, Ukr. Math. J., 63, № 8 (2012). DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-012-0577-5

V. Yuskovych, On asymptotic behavior of stochastic differential equation solutions in multidimensional space; arXiv preprint arXiv:2306.02089, 2023.