Bifurcation structure of interval maps with orbits homoclinic to a saddle-focus

Carter Hinsley; James Scully; Andrey L. Shilnikov

doi:10.3842/umzh.v75i12.7706

Carter Hinsley Department of Mathematics and Statistics, Georgia State University, Atlanta, USA
James Scully Neuroscience Institute, Georgia State University, Atlanta, USA
Andrey L. Shilnikov Neuroscience Institute and Department of Mathematics and Statistics, Georgia State University, Atlanta, USA

DOI: https://doi.org/10.3842/umzh.v75i12.7706

Анотація

УДК 517.9

Біфуркаційна структура інтервальних відображень з орбітами, гомоклінічними до сідла-фокуса

Досліджуються гомоклінічні біфуркації в інтервальному відображенні, асоційованому з сідлом-фокусом (2, 1)-типу в $Z_2$-симетричних системах. Наше дослідження такого відображення розкриває гомоклінічну структуру сідлоподіб\-ного фокуса з біфуркацією, що розгортається під керуванням біфуркації Бєлякова корозмірності 2. Ми розглядаємо три параметри відображення, що відповідають сідловій величині, параметру розщеплення та фокусній частоті гладкого сідла-фокуса в околі гомоклінічних біфуркацій. Динаміка видображення символічно кодується для того, щоб знайти вікна стабільності та локалізувати гомоклінічні біфуркаційні множини ефективним (з точки зору обчислень) способом. Досліджено організацію та можливі форми гомоклінічних біфуркаційних кривих у просторі параметрів з урахуванням симетрії та розривності відображення. Наведено достатні умови стабільності та локальної символіч\-ної сталості відображення. Запропоноване дослідження дає змогу зрозуміти структуру гомоклінічних біфуркацій сідлофокусного відображення, що сприяє розумінню низьковимірних хаотичних систем.

Посилання

A. N. Sharkovsky, On attracting and attracted sets, Sov. Math. Dokl., 6, 268–270 (1965).

A. N. Sharkovsky, A classification of fixed points, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 159–179 (1970).

O. N. Sharkovsky, Y. L. Maistrenko, E. Y. Romanenko, Difference equations and their applications, Springer Sci. Ser.: Math. and Appl. (1993). DOI: https://doi.org/10.1007/978-94-011-1763-0

A. Blokh, O. N. Sharkovsky, Sharkovsky ordering, SpringerBriefs Math. (2022). DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-030-99125-8

A. Arneodo, P. Coullet, C. Tresser, Possible new strange attractors with spiral structure, Commun. Math. Phys., 79, 573–579 (1981). DOI: https://doi.org/10.1007/BF01209312

T. Xing, K. Pusuluri, A. L. Shilnikov, Ordered intricacy of Shilnikov saddle-focus homoclinics in symmetric systems, Chaos, 31 (2021). DOI: https://doi.org/10.1063/5.0054776

V. S. Afraimovich, V. V. Bykov, L. P. Shilnikov, The origin and structure of the Lorenz attractor, Sov. Phys. Dokl., 22, 253–255 (1977).

V. S. Afraimovich, V. V. Bykov, L. P. Shilnikov, On the origin and structure of the Lorenz attractor, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 234, 336–339 (1977).

V. S. Afraimovich, L. P. Shilnikov, Nonlinear and turbulent processes in physics, Pitman Adv. Publ. Program (1983).

L. P. Shilnikov, A case of the existence of a denumerable set of periodic motions, Dokl. Akad. Nauk, 160, 558–561 (1965).

L. P. Shilnikov, The existence of a denumerable set of periodic motions in four-dimensional space in an extended neighborhood of a saddle-focus, Sov. Math. Dokl., 8, № 1, 54–58 (1967).

L. P. Shilnikov, On the birth of a periodic motion from a trajectory bi-asymptotic to an equilibrium state of the saddle type, Math. Sb., 35, № 3, 240–264 (1968). DOI: https://doi.org/10.1070/SM1968v006n03ABEH001069

L. P. Shilnikov, A certain new type of bifurcation of multidimensional dynamic systems, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 189, 59–62 (1969).

L. P. Shilnikov, A. L. Shilnikov, Shilnikov bifurcation, Scholarpedia; http://www.scholarpedia.org/article/Shilnikov_ bifurcation, 2, 1891e, revision #153014. DOI: https://doi.org/10.4249/scholarpedia.1891

V. S. Afraimovich, S. V. Gonchenko, L. M. Lerman, A. L. Shilnikov, D. V. Turaev, Scientific heritage of L. P. Shilnikov, Regular and Chaotic Dyn., 19, 435–460 (2014). DOI: https://doi.org/10.1134/S1560354714040017

S. V. Gonchenko, A. Kazakov, D. V. Turaev, A. L. Shilnikov, Leonid Shilnikov and mathematical theory of dynamical chaos, Chaos, 32 (2022). DOI: https://doi.org/10.1063/5.0080836

L. P. Shilnikov, A. L. Shilnikov, D. V. Turaev, L. O. Chua, Methods of qualitative theory in nonlinear dynamics. Pts I and II, vol. 5, World Sci. Ser. Nonlinear Sci. Ser. A (1998, 2001). DOI: https://doi.org/10.1142/4221

I. Arnold, V. V. Afrajmovich, Y. Il'yashenko, L. P. Shilnikov, Dynamical systems V: bifurcation theory and catastrophe theory, vol. 5, Springer Sci. & Business Media (2013).

P. Gaspard, Generation of a countable set of homoclinic flows through bifurcation, Phys. Lett. A, 97, 1–4 (1983). DOI: https://doi.org/10.1016/0375-9601(83)90085-3

L. A. Belyakov, A case of the generation of a periodic motion with homoclinic curves, Math. Notes Acad. Sci. USSR, 15, 336–341 (1974). DOI: https://doi.org/10.1007/BF01095124

L. A. Belyakov, The bifurcation set in a system with a homoclinic saddle curve, Math. Notes Acad. Sci. USSR, 28, 910–916 (1981). DOI: https://doi.org/10.1007/BF01709154

L. A. Belyakov, Bifurcations of systems with a homoclinic curve of the saddle-focus with a zero saddle value, Math. Notes Acad. Sci. USSR, 36, 838–843 (1985). DOI: https://doi.org/10.1007/BF01139930

I. M. Ovsyannikov, L. P. Shilnikov, On systems with a saddle-focus homoclinic curve, Mat. Sb., 130(172), 552–570 (1986).

I. M. Ovsyannikov, L. P. Shilnikov, Systems with a homoclinic curve of multidimensional saddle-focus type, and spiral chaos, Math. Sb., 73, 415 (1992). DOI: https://doi.org/10.1070/SM1992v073n02ABEH002553

S. V. Gonchenko, D. V. Turaev, P. Gaspard, G. Nicolis, Complexity in the bifurcation structure of homoclinic loops to a saddle-focus, Nonlinearity, 10, 409 (1997). DOI: https://doi.org/10.1088/0951-7715/10/2/006

V. S. Gonchenko, L. P. Shilnikov, On bifurcations of systems with homoclinic loops to a saddle-focus with saddle index $1/2$, Dokl. Math., 76, 929–933 (2007). DOI: https://doi.org/10.1134/S1064562407060300

S. Malykh, Y. Bakhanova, A. Kazakov, K. Pusuluri, A. L. Shilnikov, Homoclinic chaos in the R"ossler model, Chaos, 30 (2020). DOI: https://doi.org/10.1063/5.0026188

S. V. Gonchenko, L. P. Shil'nikov, D. V. Turaev, Dynamical phenomena in systems with structurally unstable Poincare homoclinic orbits, Chaos, 6, 15–31 (1996). DOI: https://doi.org/10.1063/1.166154

S. V. Gonchenko, L. P. Shil'nikov, D. V. Turaev, Quasiattractors and homoclinic tangencies, Comput. and Math. Appl., 34, 195–227 (1997). DOI: https://doi.org/10.1016/S0898-1221(97)00124-7

R. Barrio, F. Blesa, S. Serrano, A. L. Shilnikov, Global organization of spiral structures in biparameter space of dissipative systems with Shilnikov saddle-foci, Phys. Rev. E, 84, Article 035201 (2011). DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevE.84.035201

R. Barrio, F. Blessa, S. Serrano, T. Xing, A. L. Shilnikov, Homoclinic spirals: theory and numerics, Progress and Challenges in Dyn. Syst., Springer Proc. Math. and Stat., 54, 11–24 (2013). DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-38830-9_4

J. J. Scully, A. B. Neiman, A. L. Shilnikov, Measuring chaos in the Lorenz and Ro'ossler models: fidelity tests for reservoir computing, Chaos, 31, Article 093121 (2021). DOI: https://doi.org/10.1063/5.0065044

D. V. Turaev, L. P. Shilnikov, An example of a wild strange attractor, Sb. Math., 189, № 2, 291–314 (1998). DOI: https://doi.org/10.1070/SM1998v189n02ABEH000300

D. V. Turaev, L. P. Shil'nikov, Pseudohyperbolicity and the problem on periodic perturbations of Lorenz-type attractors, Dokl. Math., 77, 17 (2008). DOI: https://doi.org/10.1134/S1064562408010055

C. Bonatto, J. A. Gallas, Periodicity hub and nested spirals in the phase diagram of a simple resistive circuit, Phys. Rev. Lett., 101, Article 054101 (2008). DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.101.054101

J. A. Gallas, The structure of infinite periodic and chaotic hub cascades in phase diagrams of simple autonomous flows, Int. J. Bifur. and Chaos, 20, 197–211 (2010). DOI: https://doi.org/10.1142/S0218127410025636

R. Stoop, P. Benner, Y. Uwate, Real-world existence and origins of the spiral organization of shrimp-shaped domains, Phys. Rev. Lett., 105, Article 074102 (2010). DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.105.074102

R. Vitolo, P. Glendinning, J. A. Gallas, Global structure of periodicity hubs in lyapunov phase diagrams of dissipative flows, Phys. Rev. E, 84, Article 016216 (2011). DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevE.84.016216

R. Barrio, A. L. Shilnikov, L. P. Shilnikov, Kneadings, symbolic dynamics and painting Lorenz chaos, Int. J. Bifur. and Chaos, 22, Article 1230016 (2012). DOI: https://doi.org/10.1142/S0218127412300169

T. Xing, J. Wojcik, R. Barrio, A. L. Shilnikov, Symbolic toolkit for chaos explorations, Int. Conf. Theory and Application in Nonlinear Dynamics (ICAND 2012), Springer, 129–140 (2014). DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-319-02925-2_12

T. Xing, J. Wojcik, M. Zaks, A. L. Shilnikov, Fractal parameter space of Lorenz-like attractors: a hierarchical approach, Chaos, Information Processing and Paradoxical Games: The legacy of J. S. Nicolis, 1–14 (2014). DOI: https://doi.org/10.1142/9789814602136_0005

T. Xing, R. Barrio, A. L. Shilnikov, Symbolic quest into homoclinic chaos, Int. J. Bifur. and Chaos, 24, Article 1440004 (2014). DOI: https://doi.org/10.1142/S0218127414400045

K. Pusuluri, A. L. Shilnikov, Homoclinic chaos and its organization in a nonlinear optics model, Phys. Rev. E, 98, Article 040202 (2018). DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevE.98.040202

K. Pusuluri, A. Pikovsky, A. L. Shilnikov, Unraveling the chaos-land and its organization in the Rabinovich system, Advances in Dynamics, Patterns, Cognition, Springer (2017), p. 41–60. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-319-53673-6_4

K. Pusuluri, H. G. E. Meijer, A. L. Shilnikov, Homoclinic puzzles and chaos in a nonlinear laser model, J. Commun. Nonlinear Sci. and Numer. Simul. (2020). DOI: https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2020.105503

A. Lempel, J. Ziv, On the complexity of finite sequences, IEEE Trans. Inform. Theory, 22, 75–81 (1976). DOI: https://doi.org/10.1109/TIT.1976.1055501