Про обмеженість $l$-$\mathfrak{M}$-індексу цілих функцій, зображених рядами за системою функцій

Анотація

УДК 517.5

Нехай $f$ –ціла трансцендентна функція і $(\lambda_n)$ –зростаюча до $+\infty$ послідовність додатних чисел. Припустимо, що ряд $A(z)=\sum_{n=1}^{\infty}a_nf(\lambda_n z)$ регулярно збіжний в ${\mathbb C},$ тобто $\mathfrak{M}(r,A):=\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|M_f(r\lambda_n)<+\infty$ для всіх $r\in [0,+\infty).$ Для додатної неперервної на $[0,\,+\infty)$ функції $l$ функція $A$ називається функцією обмеженого $l$-$\mathfrak{M}$-індексу, якщо існує таке $N\in{\Bbb Z}_+,$ що $\dfrac{\mathfrak{M}(r,A^{(n)})}{n!l^n(r)}\le\max\left\{\dfrac{\mathfrak{M}(r,A^{(k)})}{k!l^k(r)}\colon 0\le k\le N\right\}$ для всіх $n\in{\Bbb Z}_+$ і $r\in [0,+\infty).$ Вивчено зростання функцій обмеженого $l$-$\mathfrak{M}$-індексу і сформульовано нерозв'язані задачі.