Аналог $n$-точкової задачі для лінійного гіперболічного рівняння

Анотація

В області $R_m=\{0\leq t\leq T<\infty; -\infty <x_p<+\infty, \quad p=1,\dots,m\}$ розглядається така задача:

$$L[u]=Q\left(\frac{\partial}{\partial t},(\frac{\partial}{\partial x_1},\dots , (\frac{\partial}{\partial x_m}\right)u=f(t,x_1,\dots , x_m),\quad (1)$$

$$u(t_j,x_1,\dots , x_m)=0,\, j=1,\dots , n; \,\, 0\leq t_1<t_2<\dots <t_n \leq T,\quad (2)$$

де $Q (\lambda, \eta_1,\dots , \eta_m)$ — однорідний многочлен степеня $n$ щодо $\lambda,$ $\eta_1$,$\dots $, $\eta_m$ зі сталими дійсними коефіцієнтами, а функція $ f(t,x_1,\dots , x_m)$ — неперервна по $t$, досить гладка і $2\pi$-періодична по $x_1,\dots , x_m$.

Припускається, що оператор $L$ — гіперболічний. Розв’язок задачі (1), (2) шукаємо в класі функцій, $2\pi$-періодичних за всіма просторовими змінними. Встановлено умови існування, єдиності і неперервної залежності від $f(t,x)$ розв’язку розглядуваної задачі.