Modified Cauchy problem for one degenerated hyperbolic equation of the second kind

  • A. K. Urinov Ferghana State University, Uzbekistan
  • A. B. Okboev Ferghana State University, Uzbekistan
Keywords: Cauchy problem, hyperbolic equation

Abstract

We study a modified Cauchy problem for the degenerated hyperbolic equation of the second kind. First, we find the representations of the general solution of the analyzed equation for $\alpha \leq 1.$ Then, by using these representations, we formulate modified Cauchy problems for all real values of $\alpha$ and deduce the formulas for the solution of the analyzed problems. Further, it is shown that the obtained solutions indeed satisfy the investigated equation and the initial conditions.

 

 

Author Biography

A. K. Urinov, Ferghana State University, Uzbekistan

Уринов Ахмаджон Кушакович - доктор физико- математических наук, профессор Ферганского государственного университета

References

Bers, Lipman. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. (Russian) [[Mathematical aspects of subsonic and transonic gas dynamics]] Translated by L. V. Ovsjannikov, edited by A. V. Bicadze Izdat. Inostr. Lit., Moscow 1961 208 pp. MR0127087

F. I. Frankl`, О задачах Чаплыгина для смешанных до - и сверхзвуковых течений(Russian) [[ O zadachakh Chaply`gina dlya smeshanny`kh do - i sverkhzvukovy`kh techenij]], Izv. AN SSSR. Ser. mat.,9, № 2, 121 – 142 (1945).

Vekua, I. N. Обобщенные аналитические функции. (Russian) [[Generalized analytic functions]] Gosudarstv. Izdat. Fiz.-Mat. Lit., Moscow 1959 628 pp. MR0108572

Natterer, F. The mathematics of computerized tomography. B. G. Teubner, Stuttgart; John Wiley & Sons, Ltd., Chichester, 1986. {rm x}+222 pp. ISBN: 3-519-02103-X doi: 10.1137/1.9780898719284

A. V. Biczadze, Уравнение смешанного типа (Russian) [[Uravnenie smeshannogo tipa]], Izd-vo AN SSSR, Moskva (1959).

I. L. Karol`, К теории уравнений смешанного типа (Russian) [[ K teorii uravnenij smeshannogo tipa]], Dokl. AN SSSR, 88, № 3, 397 – 400 (1953).

Smirnov, M. M. Вырождающиеся гиперболические уравнения. (Russian) [[Degenerate hyperbolic equations]] Izdat. ``Vyšèĭšaja Škola'', Minsk, 1977. 158 pp. MR0473554

F. F. Evdokimov, Задача Коши для уравнения $u_{xx} - ( -y)^m - u_{yy} lambda^2u = 0$ (Russian) [[Zadacha Koshi dlya uravneniya $u_{xx} - ( -y)^m - u_{yy} lambda^2u = 0$]], Differencz. uravneniya, Vy`p. 12, 45 – 50 (1978).

S. A. Tersenov, К теории гиперболических уравнений с данными на линии вырождения типа (Russian) [[K teorii giperbolicheskikh uravnenij s danny`mi na linii vy`rozhdeniya tipa]] , Sib. mat. zhurn., 2, № 6, 913 – 935 (1961).

S. A. Tersenov, О задаче Коши с данными на линии вырождения типа для гиперболического уравнения (Russian) [[O zadache Koshi s danny`mi na linii vy`rozhdeniya tipa dlya giperbolicheskogo uravneniya]],

Differencz. uravneniya, 2, № 4, 125 – 130 (1966).

A. V. Biczadze, К теории одного класса уравнений смешанного типа, Некоторые проблемы математики и механики (Russian) [[K teorii odnogo klassa uravnenij smeshannogo tipa, Nekotory`e problemy` matematiki i mekhaniki]] , Leningrad (1970), s. 112 – 119.

Tersenov, S. A. Введение в теорию уравнений, вырождающихся на границе (Russian) [[Introduction to the theory of equations that are degenerate on the boundary]] Special course for mathematics students at Novosibirsk University. Novosibirsk. Gosudarstv. Univ., Novosibirsk, 1973. 144 pp. MR0509614

Yu. M. Krikunov, Видоизмененная задача Трикоми для уравнения $u_{xx} +yu_{yy} +( n+1/2)u_y = 0$ (Russian) [[Vidoizmenennaya zadacha Trikomi dlya uravneniya $u_{xx} +yu_{yy} +( n+1/2)u_y = 0$]], Izv. vuzov. Matematika, №9(208), 21 – 28 (1979).

N. K. Mamadaliev, О представлении решения видоизменной задачи Коши (Russian) [[ O predstavlenii resheniya vidoizmennoj zadachi Koshi]], Sib. mat. zhurn., 41, № 5, 1087 – 1097 (2000).

V. A. Eleev, О некоторых задачах типа задачи Коши и задачи со смещением для одного вырождающегося гиперболического уравнения (Russian) [[O nekotory`kh zadachakh tipa zadachi Koshi i zadachi so smeshheniem dlya odnogo vy`rozhdayushhegosya giperbolicheskogo uravneniya]], Differencz. uravneniya, 12, № 1, 46 – 58 (1976).

M. B. Kapilevich, Об одном уравнении смешанного эллиптико-гиперболического типа (Russian) [[Ob odnom uravnenii smeshannogo e`lliptiko-giperbolicheskogo tipa]], Mat. sb., 30(72), № 1, 11 – 38 (1952).

A. N. Tikhonov, A. A. Samarskij, Уравнения математической физики (Russian) [[ Uravneniya matematicheskoj fiziki]], Nauka, Moskva (1966)

Published
15.01.2020
How to Cite
Urinov A. K., and Okboev A. B. “Modified Cauchy Problem for One Degenerated Hyperbolic Equation of the Second Kind”. Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal, Vol. 72, no. 1, Jan. 2020, pp. 100-18, http://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/656.
Section
Research articles