The fictitious domain method and homotopy as a new alternative for multidimensional partial differential equations in domains of any shape
Abstract
UDC 517.9; 519.63
The ideas of the fictitious domain method and homotopy are combined with an aim to reduce the solution of boundary-value problems for multidimensional partial differential equations (PDE) in domains of any shape to an exponentially convergent sequence of PDEs in a parallelepiped (in a rectangle, in the 2D case).
This allows us to reduce the computational costs due to the elimination of the necessity of triangulation of the domain by a grid with $N$ inner nodes (e.g., the Delaunay algorithm in the 2D case requires ${\mathcal {O}}(N \log{N})$ operations).
References
Vabishchevich, P. N. Метод фиктивных областей в задачах математической физики. (Russian) [[The method of fictitious domains in problems of mathematical physics]] Moskov. Gos. Univ., Moscow, 1991. 158 pp. ISBN: 5-211-01578-9 MR1141868
V. K. Saul`ev, О решении некоторых краевых задач на на быстродействующих вычислительных машинах методом фиктивных областей. (Russian) [[O reshenii nekotory`kh kraevy`kh zadach na na by`strodejstvuyushhikh vy`chislitel`ny`kh mashinakh metodom fiktivny`kh oblastej]], Sib. mat. zhurn, 4, no 4, 91 – 925 (1963).
Marchuk, G. I. Методы вычислительной математики. (Russian) [[Methods of numerical mathematics]] Third edition. ``Nauka'', Moscow, 1989. 608 pp. ISBN: 5-02-014222-0 MR1043176
V. D. Kopchenov, Приближение решения задачи Дирихле методом фиктивных областей. (Russian) [[Priblizhenie resheniya zadachi Dirikhle metodom fiktivny`kh oblastej, Differencz. uravneniya, 4, no 1, 151 – 164 (1968).
V. D. Kopchenov, Метод фиктивных областей для второй и третьей краевых задач. (Russian) [[Metod fiktivny`kh oblastej dlya vtoroj i tret`ej kraevy`kh zadach]], Tr. Mat. in-ta AN SSSR, 131, 119 – 127 (1974).
V. I. Lebedev, Разностные аналоги ортогональных разложений, основных дифференциальных операторов и некоторых краевых задач математической физики. (Russian) [[Raznostny`e analogi ortogonal`ny`kh razlozhenij, osnovny`kh differenczial`ny`kh operatorov i nekotory`kh kraevy`kh zadach matematicheskoj fiziki]], Zhurn. vy`chislit. matematiki i mat. fiziki, 4, no 3, 449 – 465 (1964).
A. N. Konovalov, Метод фиктивных областей в задачах кручения. (Russian) [[Metod fiktivny`kh oblastej v zadachakh krucheniya, Chislenny`e metody` mekhaniki sploshnoj sredy`, 4, no 2, 109 – 115 (1973).
K. Yu. Bogachev, Обоснование метода фиктивных областей решения смешанных краевых задач для квазилинейных эллиптических уравнений. (Russian) [[Obosnovanie metoda fiktivny`kh oblastej resheniya smeshanny`kh kraevy`kh zadach dlya kvazilinejny`kh e`llipticheskikh uravnenij]], Vestn. Mosk. un-ta, ser. 1, no 3, 16 – 23 (1996).
L. A. Rukhovecz, Замечание к методу фиктивных областей. (Russian) [[Zamechanie k metodu fiktivny`kh oblastej]], Differencz. uravneniya, 3, no 4, 698 – 701 (1967).
S. A. Vojczekhovskij, I. P. Gavrilyuk, V. L. Makarov, Cходимость разностных решений к обобщенным решениям задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца в произвольной области. (Russian) [[Ckhodimost` raznostny`kh reshenij k obobshhenny`m resheniyam zadachi Dirikhle dlya uravneniya Gel`mgol`cza v proizvol`noj oblasti, Dokl. AN SSSR, 267, no 1, 34 – 37 (1982).
Glowinski, Roland; Pan, Tsorng-Whay; Périaux, Jacques. A fictitious domain method for Dirichlet problem and applications. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 111 (1994), no. 3-4, 283--303. doi: 10.1016/0045-7825(94)90135-X
G. M. Kobel’kov, Fictitious domain method and the solution of elliptic equations with highly varying coefficients, Russ. J. Numer. Anal. and Math. Modelling, 2, Issue 6, 407 – 420 (1987).
M. B. Brusnikin, Об эффективных алгоритмах решения задач метода фиктивных областей в многосвязном случае. (Russian) [[Ob e`ffektivny`kh algoritmakh resheniya zadach metoda fiktivny`kh oblastej v mnogosvyaznom sluchae]], Dokl. RAN, 387, no 2, 151 – 155 (2002).
N. S. Bakhvalov, K. Yu. Bogachev, Zh. F. Me`tr, Эффективный алгоритм решения жестких эллиптических задач с приложениями к методу фиктивных областей. (Russian) [[E`ffektivny`j algoritm resheniya zhestkikh e`llipticheskikh zadach s prilozheniyami k metodu fiktivny`kh oblastej, Zhurn. vy`chislit. matematiki i mat. fiziki, 39, no 6, 919 – 931 (1999).
V. L. Makarov, О функционально-разностном методе произвольного порядка точности решения задачи Штурма – Лиувилля с кусочно-гладкими коэффициентами. (Russian) [[O funkczional`no-raznostnom metode proizvol`nogo poryadka tochnosti resheniya zadachi Shturma – Liuvillya s kusochno-gladkimi koe`fficzientami]], Dokl. AN SSSR, 320, no 1, 34 – 39 (1991).
B. J. Bandirs`kij, V. L. Makarov, O. L. Ukhan`ov, FD-метод для задач Штурма – Лiувiлля. Експоненцiйна швидкiсть збiжностi. (Russian) [[FD-metod dlya zadach Shturma – Liuvillya. Eksponenczijna shvidkist` zbizhnosti, Zhurn. obchisl. ta prikl. matematiki, 39, no 1(85), 1 – 60 (2000).
Reingold, Edward M.; Nievergelt, Jurg; Deo, Narsingh. Combinatorial algorithms: theory and practice. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1977. {rm xii}+433 pp. MR0471431
Copyright (c) 2020 В. Л. Макаров,Іван Гаврилюк
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.
