Best approximation by trigonometric polynomials of convolution classes generated by some linear combinations of periodic kernels
DOI:
https://doi.org/10.3842/umzh.v77i5.8934Keywords:
the best approximation by trigonometric polynomials, Bernoulli kernel, Poisson kernel, convolution of functionsAbstract
UDC 517.5
For any nontrivial linear combinations of finitely many Poisson kernels $P_{q_i,\beta}(t)=\displaystyle\sum\nolimits^\infty_{k=0}{q^k_i{\cos \left(kt-\frac{\beta\pi}{2}\right)}},$ $\beta\in {\mathbb R},$ $q_i\in (0,1),$ $i=\overline{1,m},\ m\in\mathbb{N},$ we establish the Nagy condition $N^*_n$ for all numbers $n$ starting from a certain number $n_0.$ In addition, for any $n\in {\mathbb N},$ we prove the existence of linear combinations $m\ (m\in\mathbb{N}\setminus\{1\})$ of Bernoulli kernels $D_{r_i}(t)=\displaystyle\sum\nolimits_{k=1}^\infty{(-1)}^{\frac{r_i-1}{2}} \dfrac{{\sin k }t}{k^{r_i}},$ $r_i=2l_i-1,\ l_i\in {\mathbb N},$ $i=\overline{1,m},\ m\in\mathbb{N}\setminus\{1\},$ where $r_i\ne r_j$ for $i\ne j,$ as well as linear combinations $m$ of conjugate Poisson kernels $P_{q_i,1}(t)=\displaystyle\sum\nolimits^{\infty }_{k=1}q^k_i{\sin k}t,$ $ q_i\in (0,1),$ $i=\overline{1,m},\ m\in\mathbb{N}\setminus\{1\},$ where $q_i\ne q_j$ for $i\ne j,$ which satisfy the Nikolsky condition $A^*_n$ but do not satisfy the Nagy condition $N^*_n.$ As a result, in each analyzed case, we determine the exact values of the best approximations, on average, of these linear combinations by the trigonometric polynomials of orders not higher than $n-1$ and compute the exact values of the best approximations for the classes of convolutions generated by the indicated linear combinations in metrics of the spaces $C$ and $L.$
References
1. А. И. Степанец, Методы теории приближений: в 2 ч., Институт математики НАН Украины, Киев, ч. 1 (2002).
2. М. Г. Крейн, К теории наилучшего приближения периодических функций, Докл. АН СССР, 18, № 4-5, 245–249 (1938).
3. Н. И. Ахиезер, О наилучшем приближении одного класса непрерывных периодических функций, Докл. АН СССР, 17, № 9, 451–454 (1937).
4. J. Favard, Sur l'approximation des fonctions périodiques par des polynomes trigonomé triques, C.R. Acad. Sci., 203, 1122–1124 (1936).
5. J. Favard, Sur les meilleurs procédes d'approximations des certain classes des fonctions par des polynomes trigonométriques, Bull. Sci. Math., 15, 209–224, 243–256 (1937).
6. Н. И. Ахиезер, М. Г. Крейн, О наилучшем приближении тригонометрическими суммами дифференцируемых периодических функций, Докл. АН СССР, 15, № 3, 107–112 (1937).
7. С. М. Никольский, Приближение функций тригонометрическими полиномами в среднем, Изв. АН СССР. Сер. мат., 10, 207–256 (1946).
8. B. Nagy, Über gewisse Extremalfragen bei transformierten trigonometrischen Entwicklungen 1. Periodischer Fall, Ber. math.-phys. Kl. Acad. Wiss. Leipzig, 90, 103–134 (1938).
9. А. В. Бушанский, О наилучшем в среднем гармоническом приближении некоторых функций, Исследования по теории приближения функций и их приложения, Институт математики АН УССР, Киев, 29–37 (1978).
10. В. Т. Шевалдин, Поперечники классов сверток с ядром Пуассона, Мат. заметки, 52, № 2, 145–151 (1993).
11. Н. П. Корнейчук, Экстремальные задачи теории приближения, Наука, Москва (1976).
12. A. Pincus, $n$-Widths in approximation theory, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg (1985).
13. Н. П. Корнейчук, Точные константы в теории приближения, Наука, Москва (1987).
14. А. С. Сердюк, Поперечники та найкращі наближення класів згорток періодичних функцій, Укр. мат. журн., 51, № 5, 674–687 (1999). DOI: https://doi.org/10.1007/BF02515241
15. A. S. Serdyuk, V. V. Bodenchuk, Exact values of Kolmogorov widths of classes of Poisson integrals, J. Approx. Theory, 173, № 9, 89–109 (2013). DOI: https://doi.org/10.1016/j.jat.2013.05.002
16. В. В. Боденчук, А. С. Сердюк, Точні оцінки колмогоровських поперечників класів аналітичних функцій. І, Укр. мат. журн., 67, № 6, 719–738 (2015).
17. В. В. Боденчук, А. С. Сердюк, Точні оцінки колмогоровських поперечників класів аналітичних функцій. ІІ, Укр. мат. журн., 67, № 8, 1011–1018 (2015).
18. U. Z. Grabova, I. V. Kal'chuk, Approximation of the classes $W^r_{β, ∞}$ by three-garmonic Poisson integrals, Carpathian Math. Publ., 11, № 2, 321–334 (2019). DOI: https://doi.org/10.15330/cmp.11.2.321-334
19. Ф. Г. Абдулаєв, Ю. І. Харкевич, Наближення класів $C^ψ_β H^ω$ бігармонічними інтегралами Пуассона, Укр. мат. журн., 72, № 1, 20–35 (2020).
20. А. С. Сердюк, Найкращі наближення і поперечники класів згорток періодичних функцій високої гладкості, Укр. мат. журн., 57, № 7, 946--971 (2005).
21. А. И. Степанец, Методы теории приближений:} в 2 ч., Институт математики НАН Украины, Киев, ч. ІІ (2002).
22. А. С. Сердюк, Про найкраще наближення на класах згорток періодичних, функцій, Праці Інституту математики НАН України, Теорія наближення функцій та суміжні питання, 35, 172–194 (2002).
Downloads
Published
Issue
Section
License
Copyright (c) 2025 Анатолій Сердюк, Віктор Сорич, Ніна Сорич
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.
