Найкраще наближення тригонометричними поліномами класів згорток, породжених деякими лінійними комбінаціями періодичних ядер
DOI:
https://doi.org/10.3842/umzh.v77i5.8934Ключові слова:
найкраще наближення тригонометричними поліномами, ядро Бернуллі, ядро Пуассона, згортка функційАнотація
УДК 517.5
Для довільних нетривіальних лінійних комбінацій скінченного числа ядер Пуассона $P_{q_i,\beta}(t)=\displaystyle\sum\nolimits^\infty_{k=0}{q^k_i{\cos \left(kt-\frac{\beta\pi}{2}\right)}},\ \beta\in {\mathbb R},$ $q_i\in (0,1),$ $i=\overline{1,m},\ m\in\mathbb{N},$ встановлено виконання умови Надя $N^*_n$ для всіх номерів $n,$ починаючи з деякого номера $n_0.$ Також для будь-якого $n\in {\mathbb N}$ доведено існування лінійних комбінацій $m\ (m\in\mathbb{N}\setminus\{1\})$ ядер Бернуллі $D_{r_i}(t)=\displaystyle\sum\nolimits_{k=1}^\infty{(-1)}^{\frac{r_i-1}{2}}\dfrac{{\sin k }t}{k^{r_i}},$ $r_i=2l_i-1,\ l_i\in {\mathbb N},$ $i=\overline{1,m},\ m\in\mathbb{N}\setminus\{1\},$ де $r_i\ne r_j$ при $i\ne j,$ та лінійних комбінацій $m$ спряжених ядер Пуассона $P_{q_i,1}(t)=\displaystyle\sum\nolimits^{\infty }_{k=1}q^k_i{\sin k}t,$ $ q_i\in (0,1),$ $i=\overline{1,m},\ m\in\mathbb{N}\setminus\{1\},$ де $q_i\ne q_j$ при $i\ne j,$ таких, що задовольняють умову Нікольського $A^*_n$ і при цьому не задовольняють умову Надя $N^*_n.$ Як наслідок у кожному з перелічених випадків знайдено точні значення найкращих наближень у середньому таких лінійних комбінацій тригонометричними поліномами порядку не вищого за $n-1$ та обчислено точні значення найкращих наближень класів згорток, породжених зазначеними лінійними комбінаціями, в метриках просторів $C$ і $L.$
Посилання
1. А. И. Степанец, Методы теории приближений: в 2 ч., Институт математики НАН Украины, Киев, ч. 1 (2002).
2. М. Г. Крейн, К теории наилучшего приближения периодических функций, Докл. АН СССР, 18, № 4-5, 245–249 (1938).
3. Н. И. Ахиезер, О наилучшем приближении одного класса непрерывных периодических функций, Докл. АН СССР, 17, № 9, 451–454 (1937).
4. J. Favard, Sur l'approximation des fonctions périodiques par des polynomes trigonomé triques, C.R. Acad. Sci., 203, 1122–1124 (1936).
5. J. Favard, Sur les meilleurs procédes d'approximations des certain classes des fonctions par des polynomes trigonométriques, Bull. Sci. Math., 15, 209–224, 243–256 (1937).
6. Н. И. Ахиезер, М. Г. Крейн, О наилучшем приближении тригонометрическими суммами дифференцируемых периодических функций, Докл. АН СССР, 15, № 3, 107–112 (1937).
7. С. М. Никольский, Приближение функций тригонометрическими полиномами в среднем, Изв. АН СССР. Сер. мат., 10, 207–256 (1946).
8. B. Nagy, Über gewisse Extremalfragen bei transformierten trigonometrischen Entwicklungen 1. Periodischer Fall, Ber. math.-phys. Kl. Acad. Wiss. Leipzig, 90, 103–134 (1938).
9. А. В. Бушанский, О наилучшем в среднем гармоническом приближении некоторых функций, Исследования по теории приближения функций и их приложения, Институт математики АН УССР, Киев, 29–37 (1978).
10. В. Т. Шевалдин, Поперечники классов сверток с ядром Пуассона, Мат. заметки, 52, № 2, 145–151 (1993).
11. Н. П. Корнейчук, Экстремальные задачи теории приближения, Наука, Москва (1976).
12. A. Pincus, $n$-Widths in approximation theory, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg (1985).
13. Н. П. Корнейчук, Точные константы в теории приближения, Наука, Москва (1987).
14. А. С. Сердюк, Поперечники та найкращі наближення класів згорток періодичних функцій, Укр. мат. журн., 51, № 5, 674–687 (1999). DOI: https://doi.org/10.1007/BF02515241
15. A. S. Serdyuk, V. V. Bodenchuk, Exact values of Kolmogorov widths of classes of Poisson integrals, J. Approx. Theory, 173, № 9, 89–109 (2013). DOI: https://doi.org/10.1016/j.jat.2013.05.002
16. В. В. Боденчук, А. С. Сердюк, Точні оцінки колмогоровських поперечників класів аналітичних функцій. І, Укр. мат. журн., 67, № 6, 719–738 (2015).
17. В. В. Боденчук, А. С. Сердюк, Точні оцінки колмогоровських поперечників класів аналітичних функцій. ІІ, Укр. мат. журн., 67, № 8, 1011–1018 (2015).
18. U. Z. Grabova, I. V. Kal'chuk, Approximation of the classes $W^r_{β, ∞}$ by three-garmonic Poisson integrals, Carpathian Math. Publ., 11, № 2, 321–334 (2019). DOI: https://doi.org/10.15330/cmp.11.2.321-334
19. Ф. Г. Абдулаєв, Ю. І. Харкевич, Наближення класів $C^ψ_β H^ω$ бігармонічними інтегралами Пуассона, Укр. мат. журн., 72, № 1, 20–35 (2020).
20. А. С. Сердюк, Найкращі наближення і поперечники класів згорток періодичних функцій високої гладкості, Укр. мат. журн., 57, № 7, 946--971 (2005).
21. А. И. Степанец, Методы теории приближений:} в 2 ч., Институт математики НАН Украины, Киев, ч. ІІ (2002).
22. А. С. Сердюк, Про найкраще наближення на класах згорток періодичних, функцій, Праці Інституту математики НАН України, Теорія наближення функцій та суміжні питання, 35, 172–194 (2002).
Завантаження
Опубліковано
Номер
Розділ
Ліцензія
Авторське право (c) 2025 Анатолій Сердюк, Віктор Сорич, Ніна Сорич
Ця робота ліцензується відповідно до ліцензії Creative Commons Attribution 4.0 International License.
