Mathematical modeling of rotation of a free elastic solid with cavities containing fluids in a resistive medium
DOI:
https://doi.org/10.3842/umzh.v78i5-6.9958Keywords:
Mathematical modelling, rigid bodyAbstract
UDC 531.36, 531.38, 517.93
Based on the well-known P. V. Kharlamov equations of motion of a system of coupled gyrostats and the S. L. Sobolev function of state, we develop a mathematical model of rotation in a resistive medium of a free elastic solid with two cavities completely filled with ideal incompressible fluid. The mathematical model of an elastic solid with an ideal fluid is presented in the form of a system of two elastically coupled solids filled with a fluid. The solids are connected with an elastic restoring Hooke hinge and subjected to the action of dissipative moments and moments supporting their rotation. In the case of two Lagrangian gyroscopes with arbitrary axisymmetric cavities containing fluids, we derive a transcendental characteristic equation and analyze it by taking into account the fundamental tone of the oscillations of fluid. It is proved that necessary conditions for the asymptotic stability can always be satisfied by increasing the elasticity coefficient of the hinge provided that the fundamental tone of the oscillations of fluids is greater than 1. The absence of internal resonance is demonstrated in the case where the first tones of the oscillations of fluids coincide. The analysis of necessary conditions for the asymptotic stability with respect to the angular velocity of uniform rotation turned out to be more complicated. These conditions impose restrictions not only on the fundamental tone of the oscillations of fluids but also on the attached equatorial moment of inertia of solids and the parameter of inertial coupling of the fluid. The investigation of the proposed quite simple mathematical model makes it possible to estimate the influence of elasticity and fluids on the stability of rotation of an elastic solid with fluid with an accuracy sufficient for the practical purposes.
References
1. Х. В. Троценко, Ю. В. Троценко, Застосування варіаційних методів у спектральних задачах тонкостінних оболонок і гідропружності, Наукова думка, Київ (2023) [рос.].
2. А. Я. Савченко, І. А. Болграбська, Г. А. Кононихін, Стійкість руху систем пов’язаних твердих тіл, Наукова думка, Київ (1991) [рос.].
3. І. А. Болграбська, М. Є. Лесіна, Д. А. Чебанов, Динаміка систем пов’язаних твердих тіл, Сер. Задачі та методи: математика, механіка, кібернетика, Інститут прикладної математики та механіки НАН України, 9, Наукова думка, Київ (2012) [рос.].
4. П. В. Харламов, Про рівняння руху системи твердих тіл, Механіка твердого тіла. Міжвідом. зб. наук. праць, 4, 52–73 (1972) [рос.].
5. С. Л. Соболєв, Про рух симетричної дзиги з порожниною, заповненою рідиною, Журн. прикл. механіки та техн. фізики, № 3, 20–55 (1960).
6. Ю. Н. Кононов, Про рух системи двох твердих тіл з порожнинами, що містять рідину, Механіка твердого тіла, Міжвідом. зб. наук. праць, 29, 76–85 (1997) [рос.].
7. Ю. Н. Кононов, Про стійкість руху системи пов’язаних твердих тіл з порожнинами, що містять рідину, Механіка твердого тіла. Міжвідом. зб. наук. праць, 36, 75–82 (2006) [рос.].
8. Y. N. Kononov, T. V. Khomyak, On the rotation stabilization of the unstable gyroscope containing fluid by rotating the rigid body, Facta Univ. Ser. Mech. Automat. Control Robot., 17, № 4, 195–201 (2005).
9. Yu. M. Kononov, Ya. I. Sviatenko, Stabilization of spinning Lagrange gyroscope filled with ideal fluid in a resisting medium, Internat. Appl. Mech., 59, № 2, 207–217 (2023).
10. Yu. M. Kononov, On stability of rotation in resisting medium of free system of three elastically connected rigid bodies, Internat. Appl. Mech., 60, № 6, 738–748 (2024).
11. Yu. M. Kononov, On stabilization of unstable rotation of a free rigid body with fluid in a resisting medium by rotating its rigid part, J. Math. Sci., 292, № 4, 470–482 (2025).
12. Ю. М. Кононов, Про стабілізацію нестійкого обертання у середовищі з опором вільного твердого тіла з рідиною за допомогою обертання двох його частин твердого тіла, Укр. мат. вісн., 22, № 4, 499–524 (2025).
13. Yu. M. Kononov, On the stability of rotation in an environment with resistance of a free system of two solid bodies connected by an elastics spherical joint and having a cavity with a liquid, J. Math. Sci., 284, № 3, 345–356 (2024).
14. F. L. Chernousko, L. D. Akulenko, D. D. Leshchenko, Evolution of the motions of a rigid body about its centre of mass, Springer International Publishing AG (2017).
15. Ф. Л. Черноусько, Рух твердого тіла з порожнинами, що містять в’язку рідину, Сер. мат. методи в динаміці косм. апаратів, Вип. 7, ВЦ АН СРСР, Москва (1968) [рос.].
16. D. D. Leshchenko, S. V. Ershkov, T. A. Kozachenko, Rotations of a rigid body close to the lagrange case under the action of nonstationary perturbation torque, J. Appl. Comput. Mech., 8, № 3, 1023–1031 (2022).
17. Н. Д. Копачевський, С. Г. Крейн, Н. З. Кан, Операторні методи в лінійній гідродинаміці: еволюційні та спектральні задачі, Наука, Москва (1989) [рос.].
18. Р. В. Рвалов, В. М. Роговий, Про обертальний рух тіла з порожниною, що містить рідину, Вісн. АН СРСР, Механіка твердого тіла, № 3, 15–20 (1972) [рос.].
19. Л. В. Докучаєв, Р. В. Рвалов, Про стійкість стаціонарного обертання твердого тіла з порожниною, що містить рідину, Вісн. АН СРСР, Механіка твердого тіла, № 2, 6–14 (1973).
20. E. I. Jury, Inners and stability of dynamic systems, A Wiley-Interscience Publication, John Willey and Sons (1974).
