О периодических решениях волновых уравнений второго порядка

Анотація

У просторі функцій $A = \{g:\; g(x, t) = g(x, t + T) = g(\pi - x, t) = -g(-x, t)\}$встановлено, що при вико­нанні умови $aTq = (2p - 1)\pi, \quad (2p - 1, q) = 1$, де $р, q$ — цілі числа, лінійна задача $u_{tt} - a^2 u_{xx} = g(x, t),\quad u(0, t) = u(\pi, t),\quad u(x, t + T) = u(x, t)$ завжди сумісна. Для доведення цього тверджен­ня побудовано точний розв'язок у вигляді інтегрального оператора, який використовується при доведенні існування розв'язку періодичної крайової задачі для нелійного рівняння другого по­рядку. Одержані результати застосовуються при дослідженні розв'язків нелінійних крайових задач асимптотичними методами.