О производной целой функции

Анотація

Для целой трансцендентной функции $f (z) = \sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n$ обозначим $M(r,f)=max\{|f(z)| : |z|=r\}$ и $K_1®=rM(r,f ')/M(r,f)$. Скажем, что $\Phi \in \Omega_0$, если $\Phi$ — положительная на $] -\infty, +\infty [$ функция, имеющая непрерывную положительную возрастающую к $+\infty$ производную $\Phi'$. Положим $\Psi(x)=x-\Phi(x)/\Phi' (x)$ и $\beta(x)=\{ln \Phi'(\Psi^{-1}(x))\}/\Phi'(\Psi^{-1}(x))$. Доказано, что если $lim_{r→\infty}sup\{ln M(r,f)/\Phi(ln r)\}=1$, то $lim_{r→\infty} sup \{K_1(r)/\Phi' (ln r)\} \geq 1$ и $lim_{r→\infty} sup \{K_1(r)/\Phi' (\Psi^{-1}(ln r+\beta(ln r)))\} \leq 1$.