Ліївські та точкові симетрії моделей Нижника
DOI:
https://doi.org/10.3842/umzh.v78i9-10.10162Ключові слова:
модель Нижника, псевдоалгебра ліївської інваріантності, псевдогрупа точкових симетрійАнотація
УДК 517.95:512.81
Присвячено 90-рiччю доктора фiзико-математичних наук, професора Леонiда Павловича Нижника
Розглянуто ієрархію моделей, які можна отримати із загальної системи Нижника за допомогою накладання умов на параметри, введення потенціалів або псевдопотенціалів, граничного переходу за параметром масштабування, диференціальних підстановок, а також інтерпретації частини незалежних та/або залежних змінних як комплексних чи дійсних. Тому серед моделей Нижника можна розрізняти симетричні або асиметричні, дисперсійні або бездисперсійні, стандартні або модифіковані, окремі рівняння з частинними похідними або системи таких рівнянь, дійсні, комплексні, змішані або специфічні, де комплексні змінні розбито на пари комплексно спряжених, а також лінійні або нелінійні зображення Лакса відповідно у дисперсійному або бездисперсійному випадках. Для кожної із зазначених моделей обчислено її максимальну псевдоалгебру ліївської інваріантності, а в симетричному випадку за допомогою версії алгебраїчного методу на основі мегаідеалів – також її псевдогрупи точкових і контактних симетрій. Показано, що зв'язки між такими псевдоалгебрами та псевдогрупами індуковано зв'язками між відповідними моделями. Виокремлено визначальні (скінченновимірні) підалгебри в усіх таких псевдоалгебрах у симетричному та специфічному випадках. На основі встановлених відповідностей між бездисперсійними та дисперсійними моделями проведено повну класифікацію одно- та двовимірних підалгебр максимальної псевдоалгебри ліївської інваріантності (дисперсійного симетричного потенціального) рівняння Нижника та повну класифікацію одновимірних підалгебр максимальної псевдоалгебри ліївської інваріантності його лінійного зображення Лакса.
Посилання
1. H. Baran, M. Marvan, Jets. A software for differential calculus on jet spaces and diffieties, available at http://jets.math.slu.cz.
2. A. Bihlo, E. M. Dos Santos Cardoso-Bihlo, R. O. Popovych, Algebraic method for finding equivalence groups, J. Phys. Conf. Ser., 621, 012001 (2015); arXiv:1503.06487.
3. A. Bihlo, R. O. Popovych, Point symmetry group of the barotropic vorticity equation, in: Proceedings of 5th Workshop ``Group Analysis of Differential Equations & Integrable Systems'' (June 6--10, 2010, Protaras, Cyprus), University of Cyprus, Nicosia (2011), pp. 15–27; arXiv:1009.1523.
4. M. Błaszak, Classical $R$-matrices on Poisson algebras and related dispersionless systems, Phys. Lett. A, 297, 191–195 (2002).
5. G. W. Bluman, A. F. Cheviakov, S. C. Anco, Applications of symmetry methods to partial differential equations, Springer, New York (2010).
6. L. V. Bogdanov, Veselov–Novikov equation as a natural two-dimensional generalization of the Korteweg–de Vries equation, Theoret. Math. Phys., 70, 219–223 (1987).
7. M. Boiti, J. J.-P. Leon, M. Manna, F. Pempinelli, On the spectral transform of a Korteweg–de Vries equation in two spatial dimensions, Inverse Probl., 2, 271–279 (1986).
8. V. M. Boyko, R. O. Popovych, O. O. Vinnichenko, Point- and contact-symmetry pseudogroups of dispersionless Nizhnik equation, Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul., 132, 107915, 1–19 (2024); arXiv:2211.09759.
9. J. Carminati, K. Vu, Symbolic computation and differential equations: Lie symmetries, J. Symbolic Comput., 29, 95–116 (2000).
10. E. V. Ferapontov, Stationary Veselov–Novikov equation and isothermally asymptotic surfaces in projective differential geometry, Differential Geom. Appl., 11, 117–128 (1999).
11. P. E. Hydon, Discrete point symmetries of ordinary differential equations, Proc. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci., 454, 1961–1972 (1998).
12. P. E. Hydon, How to find discrete contact symmetries, J. Nonlinear Math. Phys., 5, 405–416 (1998).
13. P. E. Hydon, How to construct the discrete symmetries of partial differential equations, Eur. J. Appl. Math., 11, 515–527 (2000).
14. P. E. Hydon, Symmetry methods for differential equations. A beginner's guide, Cambridge University Press, Cambridge (2000).
15. B. Konopelchenko, L. Martínez Alonso, Nonlinear dynamics on the plane and integrable hierarchies of infinitesimal deformations, Stud. Appl. Math., 109, 313–336 (2002).
16. B. Konopelchenko, A. Moro, Integrable equations in nonlinear geometrical optics, Stud. Appl. Math., 113, 325–352 (2004).
17. D. S. Maltseva, R. O. Popovych, Complete point-symmetry group, Lie reductions and exact solutions of Boiti–Leon–Pempinelli system, Phys. D, 460, 134081, 1–14 (2024); arXiv:2103.08734.
18. M. Marvan, Sufficient set of integrability conditions of an orthonomic system, Found. Comput. Math., 9, 651–674 (2009); arXiv:nlin/0605009.
19. M. Marvan, A. Sergyeyev, Recursion operator for the stationary Nizhnik–Veselov–Novikov equation, J. Phys. A, 36, L87–L92 (2003).
20. O. I. Morozov, Contact integrable extensions of symmetry pseudo-groups and coverings of $(2+1)$ dispersionless integrable equations, J. Geom. Phys., 59, 1461–1475 (2009).
21. O. I. Morozov, J.-H. Chang, The dispersionless Veselov–Novikov equation: symmetries, exact solutions, and conservation laws, Anal. Math. Phys., 11, 126 (2021).
22. J. J. C. Nimmo, Darboux transformations in $(2+1)$-dimensions, in: P. A. Clarkson (ed.), Applications of Analytic and Geometric Methods to Nonlinear Differential Equations (Exeter, 1992), NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C: Math. Phys. Sci., 413, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht (1993), pp. 183–192.
23. L. P. Nizhnik, Integration of multidimensional nonlinear equations by the inverse problem method, Soviet Phys. Dokl., 25, 706–708 (1980).
24. P. J. Olver, Applications of Lie groups to differential equations, Springer, New York (1993).
25. M. V. Pavlov, Modified dispersionless Veselov–Novikov equation and corresponding hydrodynamic chains, Preprint (2006); arXiv:nlin/0611022.
26. R. O. Popovych, V. M. Boyko, M. O. Nesterenko, M. W. Lutfullin, Realizations of real low-dimensional Lie algebras, J. Phys. A, 36, 7337–7360 (2003); arXiv:math-ph/0301029.
27. C. Rogers, W. K. Schief, Bäcklund and Darboux transformations. Geometry and modern applications in soliton theory, Cambridge University Press, Cambridge (2002).
28. A. Sergyeyev, New integrable $(3+1)$-dimensional systems and contact geometry, Lett. Math. Phys., 108, 359–376 (2018); arXiv:1401.2122.
29. A. Sergyeyev, Integrable $(3+1)$-dimensional system with an algebraic Lax pair, Appl. Math. Lett., 92, 196–200 (2019); arXiv:1812.02263.
30. A. Sergyeyev, Multidimensional integrable systems from contact geometry, Bol. Soc. Mat. Mex. (3), 31, 26 (2025); arXiv:2501.04474.
31. I. A. Taimanov, Modified Novikov–Veselov equation and differential geometry of surfaces, in: Solitons, geometry, and topology: on the crossroad, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 179, Amer. Math. Soc., Providence, RI (1997), pp. 133–151; arXiv:dg-ga/9511005.
32. A. P. Veselov, S. P. Novikov, Finite-zone two-dimensional potential Schrödinger operators. Explicit formulas and evolution equations, Soviet Math. Dokl., 30, 588–591 (1984).
33. O. O. Vinnichenko, V. M. Boyko, R. O. Popovych, Lie reductions and exact solutions of dispersionless Nizhnik equation, Anal. Math. Phys., 14, 82 (2024); arXiv:2308.03744.
34. O. O. Vinnichenko, V. M. Boyko, R. O. Popovych, Hidden symmetries, hidden conservation laws and exact solutions of dispersionless Nyzhnyk equation, Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul., 156, 109635 (2026); arXiv:2505.02962.
35. O. O. Vinnichenko, V. M. Boyko, R. O. Popovych, Point-symmetry pseudogroup and Lie reductions of Boiti–Leon–Manna–Pempinelli equation (in preparation).
36. K. T. Vu, G. F. Jefferson, J. Carminati, Finding higher symmetries of differential equations using the MAPLE package DESOLVII, Comput. Phys. Commun., 183, 1044–1054 (2012).
