Оцінка Стєчкіна для майже копозитивного наближення періодичних функцій
DOI:
https://doi.org/10.37863/umzh.v72i5.1127Анотація
УДК 517.5
Якщо неперервна на дійсній осі $2\pi$-періодична функція $f$ змінює свій знак у $2s,$ $s\in\mathbb N,$ точках $y_i\colon -\pi\le y_{2s}<y_{2s-1}<\ldots <y_1<\pi,$ а для інших $i\in\mathbb Z$ точки $y_i$ визначаються періодично, то для кожного натурального $n,$ більшого за деяку сталу $N(k,y_i),$ що залежить тільки від $k\in \mathbb N$ і $\min _{i=1,\ldots ,2s}\{y_i-y_{i+1}\},$ знайдено тригонометричний поліном $P_n$ порядку не вищого за $n$ такий, що $P_n$ має скрізь той самий знак, що і $f,$ за винятком, можливо, маленьких околів точок $y_i\colon (y_i-\pi/n,y_i+\pi/n),$ $P_n(y_i)=0,\ i\in\mathbb Z,$ і $\|f-P_n\|\le c(k,s)\,\omega_k(f,\pi/n),$ де $c(k,s)$ — стала, що залежить тільки від $k$ і $s,$ $\omega_k(f,\cdot)$ — модуль гладкості $k$-го порядку функції $f$ і $\|\cdot\|$ — max-норма.
Посилання
Dzyadyk, V. K. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. (Russian) [Introduction to the theory of uniform approximation of functions by polynomials] Nauka, Moscow, 1977. 511 pp.
Lorentz, G. G.; Zeller, K. L. Degree of approximation by monotone polynomials. I. J. Approximation Theory 1 (1968), 501–504. https://doi.org/10.1016/0021-9045(68)90039-7 DOI: https://doi.org/10.1016/0021-9045(68)90039-7
Dzyubenko, G. A.; Gilewicz, J. Copositive approximation of periodic functions. Acta Math. Hungar. 120 (2008), no. 4, 301–314. https://doi.org/10.1007/s10474-008-6204-0 DOI: https://doi.org/10.1007/s10474-008-6204-0
Pleshakov, M. G.; Popov P. A. Знакосохраняющее приближение периодических функций. (Russian) [Sign-Preserving Approximation of Periodic Functions]. Укр. мат. журн. 55 (2003), no. 8, 1087–1098 [Ukr. Math. J. 55 (2003), no. 8, 1314–1328]. https://doi.org/10.1023/B:UKMA.0000010761.91730.16 DOI: https://doi.org/10.1023/B:UKMA.0000010761.91730.16
Popov, P. A. Один контрприклад у знакозберiгаючому наближеннi перiодичних функцiй. (Ukrainian) [Odyn kontrpryklad u znakozberigajuchomu nablyzhenni periodychnyh funkcij]. Проблеми теорiї наближення функцiй: Зб. праць Iн-ту математики НАН України [Problemy teorii' nablyzhennja funkcij: Zb. prac' In-tu matematyky NAN Ukrai'ny], 2 (2005), no. 2, 176–185.
Dzyubenko, G. A. Поточечная оценка комонотонного приближения. (Russian) [Pointwise estimation of comonotone approximation]. Укр. мат. журн. 46 (1994), no. 11, 1467–1472. [Ukr. Math. J. 46 (1994), no. 11, 1620–1626]. https://doi.org/10.1016/s0021-9045(02)00045-x
Wu, Xiang; Zhou, Song Ping. A counterexample in comonotone approximation in $L^p$ space. Colloq. Math. 64 (1993), no. 2, 265–274. https://doi.org/10.4064/cm-64-2-265-274 DOI: https://doi.org/10.4064/cm-64-2-265-274
Leviatan, D.; Shevchuk, I. A. Nearly comonotone approximation. J. Approx. Theory 95 (1998), no. 1, 53–81. https://doi.org/10.1006/jath.1998.3194 DOI: https://doi.org/10.1006/jath.1998.3194
DeVore, R. A.; Leviatan, D.; Shevchuk, I. A. Approximation of monotone functions: a counter example. Curves and surfaces with applications in CAGD (Chamonix–Mont-Blanc, 1996), 95–102, Vanderbilt Univ. Press, Nashville, TN, 1997.
Leviatan, D.; Shevchuk, I. A. Coconvex polynomial approximation. J. Approx. Theory 121 (2003), no. 1, 100–118. https://doi.org/10.1016/s0021-9045(02)00045-x DOI: https://doi.org/10.1016/S0021-9045(02)00045-X
Dzyubenko, G. A. Nearly comonotone approximation of periodic functions. Anal. Theory Appl. 33 (2017), no. 1, 74–92. https://doi.org/10.4208/ata.2017.v33.n1.7 DOI: https://doi.org/10.4208/ata.2017.v33.n1.7
Dzyubenko, G. A. Майже коопукле наближення неперервних перiодичних функцiй. (Ukrainian) [Almost Coconvex Approximation of Continuous Periodic Functions]. Укр. мат. журн. 71 (2019), no. 3, 353–367. [Ukr. Math. J. 71 (2019), no. 3, 402–418]. https://doi.org/10.1007/s11253-019-01654-3 DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-019-01654-3
Dzyubenko, G. A. Поточкова оцiнка майже копозитивного наближення неперервних функцiй алгебраїчними многочленами. (Ukrainian) [Pointwise Estimation of the Almost Copositive Approximation of Continuous Functions by Algebraic Polynomials]. Укр. мат. журн. 69 (2017), no. 5, 641–649. [Ukr. Math. J. 69 (2017), no. 5, 746–756]. https://doi.org/10.1007/s11253-017-1392-9 DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-017-1392-9
Whitney, Hassler. On functions with bounded $n$th differences. J. Math. Pures Appl. (9) 36 (1957), 67–95.
Gilewicz, J.; Kryakin, Yu. V.; Shevchuk, I. A. Boundedness by 3 of the Whitney interpolation constant. J. Approx. Theory 119 (2002), no. 2, 271–290. https://doi.org/10.1006/jath.2002.3732 DOI: https://doi.org/10.1006/jath.2002.3732
Pleshakov, M. G.; Popov, P. A. Второе неравенство Джексона в знакосохраняющем приближении периодических функций. (Russian) [Second Jackson Inequality in a Sign-Preserving Approximation of Periodic Functions]. Укр. мат. журн. 56 (2004), no. 1, 123–128 [Ukr. Math. J. 56 (2004), no. 1, 153–160]. https://doi.org/10.1023/B:UKMA.0000031710.44467.5e DOI: https://doi.org/10.1023/B:UKMA.0000031710.44467.5e
Dzyubenko, G. A. Комонотонне наближення двiчi диференцiйовних перiодичних функцiй. (Ukrainian) [Comonotone approximation of twice differentiable periodic functions]. Укр. мат. журн. 61 (2009), no. 4, 1435–1451. [Ukr. Math. J. 61 (2009), no. 4, 519]. https://doi.org/10.1007/s11253-009-0235-8 DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-009-0235-8
Dzyubenko, G. A. Порядки комонотонного наближення перiодичних функцiй. (Ukrainian) [Porjadky komonotonnogo nablyzhennja periodychnyh funkcij] Теорiя функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України (Ukrainian) [Teorija funkcij ta sumizhni pytannja: Zb. prac' In-tu matematyky NAN Ukrai'ny] 10 (2013), no. 1, 110–125.
Shevchuk, I. A. Приближение многочленами и следы непрерывных на отрезке функций. (Russian) [Priblizhenie mnogochlenami i sledy nepreryvnyh na otrezke funkcij]. Nauk. dumka, Kiev (1992).
Stechkin, S. B. О порядке наилучших приближений непрерывных функций. (Russian) [O porjadke nailuchshih priblizhenij nepreryvnyh funkcij]. Izv. AN SSSR, ser. mat. 15 (1951), no. 3, 219–242.
Pleshakov, M. G. Comonotone Jackson's inequality. J. Approx. Theory 99 (1999), no. 2, 409–421. https://doi.org/10.1006/jath.1999.3327 DOI: https://doi.org/10.1006/jath.1999.3327
Dzjubenko, G. A.; Pleshakov, M. G. Комонотонное приближение периодических функций. (Russian) [Komonotonnoe priblizhenie periodicheskih funkcij]. Mat. zametki 83 (2008), вып. 2, 199–209. https://doi.org/10.4213/mzm4416 DOI: https://doi.org/10.4213/mzm4416
Dzyubenko, G. A.; Gilewicz, J.; Shevchuk, I. A. Piecewise monotone pointwise approximation. Constr. Approx. 14 (1998), no. 3, 311–348. https://doi.org/10.1007/s003659900077 DOI: https://doi.org/10.1007/s003659900077
