Про сплетенi послiдовностi та густину точок вiдносно матрицi, що сконструйована за допомогою вагової функцiї

Анотація

УДК 517.5
У цьому викладі ми слідуємо роботі [Linear Algebra and Appl. -- 2015. -- {\bf{ 487}}. -- P. 22--42]. Так, для $y \in \mathbb{R}$ і послідовності $x = (x_n) \in \ell^{\infty}$ ми вводимо нове поняття густини $\delta_{g}$ відносно вагової функції $g$ від індексів елементів $x_n,$ близьких до $y,$ де функція $ n / g(n) \nrightarrow 0.$ Наведено співвідношення між густинами $\delta_{g}$ індексів елементів $(x_n)$ i варіаціями границі Чезаро для $(x_n).$ В основному результаті стверджується, що у випадку, коли множина граничних значень для $(x_n)$ є зліченною, а $\delta_g(y)$ існує для всіх $y\in\mathbb{R},$ $ \lim\nolimits_{n\to\infty} \dfrac{1}{g(n)}\displaystyle\sum\nolimits_{i=1}^{n} x_i = \sum\nolimits_{y\in\mathbb{R}}\delta_g(y)\cdot y ,$ що є розширеною та набагато більш загальною формою „природної густинної версії теореми Осікевича”. Відмітимо, що в [Linear Algebra and Appl. -- 2015. -- {\bf 487}. -- P. 22--42] регулярність матриці використовувалась протягом усього дослідження. Водночас у нашій роботі дослідження насправді виконується для спеціального типу матриці, що необов'язково є регулярною.