Про один клас подвiйних перехресних бiдобуткiв

Анотація

Нехай $H$ — бiалгебра, $A$ — алгебра та водночас лiва $H$-комодульна коалгебра, а $B$ — алгебра та водночас права $H$-комодульна коалгебра. Крiм того, нехай $f : H \otimes H \rightarrow A\otimes H,\; R : H \otimes A \rightarrow A\otimes H$ та $T : B \otimes H \rightarrow H \otimes B$ — лiнiйнi вiдображення. Наведено необхiднi та достатнi умови для того, щоб одностороння алгебра Бжезiнського $A\#^f_RH_T\#B$ з перехресним добутком та двостороння коалгебра $A \times H \times B$ зi схрещеним кодобутком утворювали бiалгебру, що узагальнює основнi результати, отриманi в [On Ranford biproduct // Communs Algebra. – 2015. – 43, № 9. – P. 3946 – 3966]. Очевидно, що як подвiйний бiдобуток Маджiда [Double-bosonization of braided groups and the construction of $U_q(g)$ // Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. – 1999. – 125, № 1. – P. 151 – 192], так i перехресний добуток Ванга – Джао –Жао [Hopf algebra structures on crossed products // Communs Algebra. – 1998. – 26. – P. 1293 – 1303] можна отримати як частиннi випадки.