Точна стала в нерiвностi Дзядика для похiдної вiд алгебраїчного полiнома

Анотація

Для натуральных $k$ и $n \geq 2k$ найдена точная постоянная $c(n, k)$ в неравенстве Дзядыка $$|| P^{\prime}_n\varphi^{1-k}_n ||_{C[ 1,1]} \leq c(n, k)n\| P_n\varphi^{-k}_n \|_{C[ 1,1]}$$ для производной $P^{\prime}_n$ многочлена $P_n$ степени не больше $n$, где $$\varphi_n(x) := \sqrt{n^{-2} + 1 - x_2,} $$ а именно, $$c(n, k) = \biggl( 1 + k \frac{\sqrt{ 1 + n^2} - 1}{n} \biggr)^2 - k.$$