Алгебри Лі, асоційовані з модулями над кільцями многочленів

Анотація

Пусть $\mathbb{K}$ — алгебраически замкнутое поле нулевой характеристики и $V$ — модуль над кольцом многочленов $\mathbb{K}[x, y]$. Действие $x$ и $y$ определяет линейные операторы $P$ и $Q$ на $V$, как на векторном пространстве над $\mathbb{K}$. Определим алгебру Ли $L_V = \mathbb{K}\langle P,Q\rangle \rightthreetimes V$ как полупрямое произведение двух абелевых алгебр Ли с естественным действием $\mathbb{K}\langle P, Q\rangle$ на $V$. Доказано, что если $\mathbb{K}[x, y]$-модули $V$ и $W$ изоморфны либо слабо изоморфны, то соответствующие ассоциированные алгебры Ли $L_V$ и $L_W$ изоморфны. Обратное утверждение в общем случае неверно: построены два $\mathbb{K}[x, y]$-модуля $V$ и $W$ размерности 4, которые не являются слабо изоморфными, но их ассоциированные алгебры Ли изоморфны. Приведена характеристика таких пар $\mathbb{K}[x, y]$-модулей произвольной размерности над полем $\mathbb{K}$. Доказано, что неразложимые модули $V$ и $W$ такие, что $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathbb{K} V = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}KW \geq 7$, слабо изоморфны тогда и только тогда, когда их ассоциированные алгебры Ли $L_V$ и $L_W$ изоморфны.