Класична задача М. А. Буля, її розв’язки Пфайфера–Сато i класичний принцип Лагранжа–Даламбера для iнтегровних нелiнiйних рiвнянь небесного типу

Анотація

Запропонований огляд присвячено попереднiм та новим дослiдженням класичної проблеми М. А. Буля опису узгоджених лiнiйних векторних полiв та її загальним розв’язкам М. Г. Пфайфера, а також новим спецiальним розв’язкам типу Лакса – Сато. Зокрема, проаналiзовано вiдповiднi алгебраїчнi структури Лi та властивостi iнтегровностi для дуже цiкавого класу нелiнiйних динамiчних систем, що називаються бездисперсiйними рiвняннями небесного типу, якi були введенi Є. Плебанським i пiзнiше проаналiзованi в серiї статей. На основi Лi-алгебраїчної схеми Адлера – Костанта – Сурiо (AKS) та асоцiйованої з нею $R$-структури вивчено орбiти вiдповiдних коприєднаних дiй, тiсно пов’язаних з клaсичними структурами Лi – Пуассона на них. Показано, що умова сумiсностi для них збiгається з вiдповiдними рiвняннями небесного типу, що аналiзуються. Також показано, що всi цi рiвняння породжуються таким чином i їх можна представити як умову сумiсностi Лакса для спецiально побудованих петельних векторних полiв на торi. Описано нескiнченну iєрархiю законiв збереження, пов’язаних з небесними рiвняннями, та вказано її аналiтичну структуру, що пов’язана з iнварiантами Казiмiра. Крiм того, наведено типовi приклади таких рiвнянь, для яких детально проаналiзовано їх iнтегровнiсть у рамках запропонованого пiдходу. Показано зв’язок розвинутого пiдходу з дуже цiкавою класичною механiчною iнтерпретацiєю Лагранжа – Даламбера.