Метод граничних iнтегралiв для чисельного розв’язування задачi Кошi для рiвняння Лапласа

Анотація

Наведено огляд прямого методу граничних iнтегральних рiвнянь для чисельного розв’язування задачi Кошi для рiвняння Лапласа у двозв’язних областях; область розв’язування розмiщена мiж двома замкненими граничними поверхнями (кривими у випадку двовимiрних областей). Ця задача Кошi полягає у знаходженнi значень гармонiчної функцiї та її нормальної похiдної на однiй iз двох замкнених границь за iнформацiєю про цi величини на iншiй граничнiй поверхнi. Це є некоректна задача, в якiй шум у вхiдних даних може призвести до непридатного обчисленого наближеного розв’язку. Ми описуємо i наводимо огляд регуляризуючого методу для стiйкого визначення шуканих величин, ґрунтуючись на поданнi розв’язку задачi Кошi у формi потенцiалу простого шару. Таке подання приводить до системи граничних iнтегральних рiвнянь вiдносно двох невiдомих густин. Встановлено iснування i єдинiсть густин та запропоновано спосiб чисельної дискретизацiї у дво- та тривимiрних областях. Також дискутується випадок однозв’язних областей та випадок необмежених областей. Наведено чисельнi приклади для дво- та тривимiрних областей, яки засвiдчують, що запропонований пiдхiд дає хорошу точнiсть при економних обчислювальних затратах.