On the strong law of large numbers for ϕ-sub-Gaussian random variables

Анотація

УДК 517.9
Про посилений закон великих чисел для ϕ-субгаусових випадкових величин

Нехай для $p\ge 1$  $\varphi_p(x)=x^2/2$, якщо $|x|\le 1$, і $\varphi_p(x)=1/p|x|^p-1/p+1/2$, якщо $|x|>1.$  Для випадкової величини $\xi$ нехай $\tau_{\varphi_p}(\xi)$ позначає $\inf\{a\ge 0\colon \forall_{\lambda\in\mathbb{R}}$ $\ln\mathbb{E}\exp(\lambda\xi)\le\varphi_p(a\lambda)\};$ $\tau_{\varphi_p}$ --- норма у просторі ${\rm Sub}_{\varphi_p}=\{\xi\colon \tau_{\varphi_p}(\xi)<\infty\}$ $\varphi_p$-субгауссових випадкових величин.  У цій роботі доведено наступне: якщо для послідовності $(\xi_n)\subset {\rm Sub}_{\varphi_p},$ $p>1,$ існують додатні сталі $c$ і $\alpha$ такі, що для будь-якого натурального числа $n$ виконується нерівність $\tau_{\varphi_p} \Big(\sum_{i=1}^n\xi_i \Big)\le cn^{1-\alpha}$, то  $n^{-1}\sum_{i=1}^n\xi_i$ збігається майже напевно до нуля при $n\to\infty.$  Цей результат узагальнює посилений закон великих чисел для незалежних субгауссових випадкових величин [див. R. L. Taylor, T.-C. Hu, Sub-Gaussian techniques in proving strong laws of large numbers, Amer.  Math. Monthly, 94, 295–299 (1987)] у випадку, коли розглядаються залежні $\varphi_p$-субгауссові випадкові величини.