Числовi характеристики випадкової величини, пов'язаної iз зображенням дiйсних чисел рядами Енгеля

Анотація

УДК 511.72+511.75+519.21

Відомо, що будь-яке число $x \in \left(0;1\right]\equiv\Omega$ єдиним чином розкладається в ряд Енгеля $$x=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\left(p_1(x)+1\right)\ldots \left(p_n(x)+1\right)},$$ де $p_n(x)\in\mathbb{N},$ $p_{n+1}(x)\geq p_n(x)$ $\forall n \in \mathbb{N}.$ Цей розклад коректно визначає $p_n(x)$ як вимірну функцію (випадкову величину) на ймовірнісному просторі $(\Omega, \mathcal{F}, \lambda),$ де $\mathcal{F}$ — $\sigma$-алгебра вимірних за Лебегом підмножин множини $\Omega,$ $\lambda$ — міра Лебега.

На множині $\Omega^*\subset\Omega$ збіжності функціонального ряду  $\displaystyle\sum\nolimits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{p_n(x)+1}$ визначається функція $$\psi(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{p_n(x)+1},$$ яка є основним об'єктом дослідження в даній роботі. Доведено, що функція $\psi$ визначена (набуває скінченних значень) майже скрізь на $(0;1]$ та є випадковою величиною на ймовірнісному просторі $(\Omega^*, \mathcal{F^*}, \lambda),$ де $\mathcal{F^*}$ — $\sigma$-алгебра вимірних за Лебегом підмножин множини $\Omega^*,$ обчислено її математичне сподівання та дисперсію. Розглянуто випадкові величини $\psi_k$ як узагальнення функції $\psi$ та обчислено їхні математичні сподівання $M\psi_k.$