Перші числа Бетті орбіт функцій Морса на поверхнях

Анотація

УДК 515.1

Нехай $M$ -зв'язна компактна орієнтовна поверхня і $P$ - дійсна пряма $\mathbb{R}$ або коло $S^1.$
Зауважимо, що група $\mathcal{D}$ дифеоморфізмів $M$ діє на просторі гладких відображень $C^{\infty} (M,P)$ за правилом $(f,h) \longmapsto f \circ h,$ де $h\in\mathcal{D},$ $f\in C^\infty (M,P).$
Для $f\in C^{\infty}(M,P)$ позначимо через $\mathcal{O}(f)$ його орбіту відносно вказаної дії. Нехай $\mathcal{M}(M,P)$ - множина класів ізоморфізму фундаментальних груп $\pi_1\mathcal{O}(f)$ орбіт усіх відображень Морса  $f\colon M\to P.$

В роботах С. І. Максименка та Б. Г. Фещенка було розглянуто множини класів $\mathcal{B}$ і $\mathcal{T}$ ізоморфізму груп, що породжуються прямими добутками та певними типами вінцевих добутків, і доведено включення $\mathcal{M}(M,P) \subset \mathcal{B},$ якщо $M$ відмінна від 2-сфери $S^2$ і 2-тора $T^2,$ та $\mathcal{M} (T^2, \mathbb{R})\subset \mathcal{T}.$
В даній статті показано, що вказані включення є рівностями, та описано деякі підкласи в $\mathcal{M} (M,P)$ при певних обмеженнях на поведінку функцій на межі $\partial M.$

Також доведено, що для довільної групи $G \in \mathcal{B}$ $(G \in \mathcal{T})$ центр $Z(G)$ і фактор-група по комутанту $G/[G,G]$ є вільними абелевими групами однакового рангу, який легко обчислити із геометричних властивостей відображення Морса $f$ такого, що $\pi_1\mathcal{O}(f) \simeq G.$ Зокрема, цей ранг є першим числом Бетті орбіти $\mathcal{O}(f)$ відображення $f.$