Хрест-топологія і трійки Лебеґа

Анотація

Крест-топологией y на произведении топологических пространств $X$ и $Y$ называется совокупность всех множеств $G ⊆ X × Y$, пересечение которых с каждой вертикалью и горизонталью является открытым подмножеством вертикали или горизонтали соответственно. Для пространств $X$ и $Y$ из некоторого класса пространств, содержащего все пространства \( {{\mathbb{R}}^n} \) , доказано, что существует раздельно непрерывная функция f : X × Y → (X × Y, γ), которая не является поточечным пределом последовательности непрерывных функций. Кроме того, установлено, что каждая раздельно непрерывная функция, заданная на произведении сильно нульмерного метризуемого и топологического пространств и принимающая значения в любом топологическом пространстве, является поточечным пределом последовательности непрерывных функций.