Локальні максимуми потенціальної енергії на сферах

Анотація

Нехай $S^d$ — одинична сфера в $ℝ^{d+1}$, а a — додатне число. Для попарно різних точок $x_1, x_2,...,x_N \in S^d$ розглядається функціонал $E_{α} (x_1, x_2, ... ,x_N) = Σ_{i≠j} ||x_i − x_j ||^{−α}$. Доведено, що при $α ≥ d − 2$ функціонал $E_{α} (x_1, x_2, ... ,x_N)$ не має локальних максимумів.