Про нерiвностi для норм промiжних похiдних кратно-монотонних функцiй, що заданi на скiнченному вiдрiзку

Анотація

Дослiджується наступна модифiкацiя задачi Ландау – Колмогорова. Нехай $k, r \in \mathbb{N}, \quad 1 \leq k \leq r -1$, $p, q, s \in [1, \infty]$ i $MM^m,\; m \in \mathbb{N}$, — клас невiд’ємних функцiй, що заданi на вiдрiзку $[0, 1]$ та мають майже скрiзь на $[0, 1]$ невiд’ємнi похiднi порядкiв $0, 1, . . . , m$. Для кожного $\delta > 0$ необхiдно знайти величину $$w^{k, r}_{p, q, s}(\delta; MM^m) := \sup \left\{ ||x^{(k)}||_q : \; x \in MM^m,\; ||x||_p \leq \delta, \;\; ||x^{(r)}||_s \leq 1\right\}.$$ У данiй роботi величину $w^{k, r}_{p, q, s}(\delta; MM^m)$ знайдено у випадку $s = \infty$ та$m \in \{r,\; r — 1,\; r — 2\}$. Також розглянуто деякi узагальнення вказаної модифiкацiї задачi Ландау – Колмогорова.