O некоторых экстремальных задачах разных метрик для дифференцируемых функций на оси

Анотація

Для довільного фіксованого відрізка $[α, β] ⊂ R$ та заданих $r ∈ N, A_r, A_0$, $p > 0$ розв'язано екстремальну задачу $$∫^{β}_{α} \left|x^{(k)}(t)\right|^qdt → \sup,\; q⩾p,\; k=0,\; q⩾1,\; 1 ⩽ k ⩽ r−1,$$ на множині всіх функцій $x ∈ L^r_{∞}$ таких, що $∥x (r)∥_{∞} ≤ A_r$, $L(x)_p ≤ A_0$, де $$L(x)p := \left\{\left( ∫^b_a |x(t)|^p dt\right)^{1/ p} : a,b ∈ R,\; |x(t)| > 0,\; t ∈ (a,b)\right\}$$ У випадку $p = ∞$, $k ≥ 1$ ця задача була розв'язана раніше В. Вояновим і Н. Найдьоновим.