Оцінка норми похідної монотонної раціональної функції у просторах $L_p$

Анотація

Показано, что для производной возрастающей на отрезке $[−1, 1]$ рациональной функции $R$ степени $n$ для всех $0 < ε < 1$ и $p, q > 1$ выполняется неравенство $$∥R′∥_{L_p[−1+ε,1−ε]} ≤ C⋅9^{n(1−1/p)}ε^{1/p−1/q−1}∥R∥_{L_q[−1,1]},$$ где постоянная $C$ зависит только от $p$ и $p$. Степенью рациональной функции $R(x) = P(x)/Q(x)$ называем наибольшую из степеней многочленов $P$ и $Q$.