Про належність абсолютно збіжних у півплощині рядів Діріхле до класу збіжності

Анотація

Пусть $M(\sigma) = \sup\{|F(\sigma+it)|:\;t \in {\mathbb R}\},$ $\mu(\sigma) = \max\{|a_n| \exp(\sigma \lambda_n):\;n \geq 0\},\quad \sigma < 0,$ для ряда Дирихле $F(s) = \sum^{\infty}_{n=0}a_n \exp \{s\lambda_n\}$ с абсциссой абсолютной сходимости $\sigma_a = 0$. Доказано, что условие $\ln \ln n = o(\ln \lambda_n),\;n\rightarrow\infty$ является необходимым и достаточным для равносильности соотношений $\int^0_{-1}|\sigma|^{\rho-1}\ln M(\sigma)d\sigma < +\infty,$ $\int^0_{-1}|\sigma|^{\rho-1}\ln \mu(\sigma)d\sigma < +\infty,\quad \rho > 0$, для каждого такого ряда.