Про одну властивість інтеграла типу β-Коші з неперервною щільністю

Анотація

Доведено, що коли $\gamma$ є спрямлюваною замкненою кривою Жордана і $f$ є неперервною комплекснозначною функцією на $\gamma$ такою, що інтеграл $$\int\limits_{\gamma\setminus\{\zeta \in \gamma:\;|\zeta-t|\leq r \}} \frac{|f(\zeta) - f(t)|}{\left|\zeta - t|t/\zeta|^{\theta} \right|} \left|n(\zeta) - \beta \frac{\zeta}{\overline{\zeta}} \overline{n}(\zeta) \right|ds, \quad \theta = \frac{2\beta}{1-\beta},$$ рівномірно збігається на $\gamma$ при $r \rightarrow 0$, де $n(\zeta)$ — зовнішній одиничний нормальний вектор на $\gamma$ у точці $n(\zeta)$, а $ds$ — диференціал довжини дуги, тоді інтеграл типу $\beta$-Коші $$\frac1{2(1 - \beta)\pi}\int\limits_{\gamma}\frac{f(\zeta)}{\zeta - z|z/\zeta|^ {\theta}} \left(n(\zeta) - \beta \frac{\zeta}{\overline{\zeta}}\overline{n}(\zeta) \right)ds,\quad z \in \gamma,$$ дозволяє неперервне розширення на $\gamma$ і один із варіантів формули Сохоцького - Племея виконується.