Классификация бесконечно дифференцируемых периодических функций

Анотація

Вивчається множина $\mathcal{D}^{\infty}$ нескінченно диференційовних періодичних функцій у термінах узагальнених $\overline{\psi}$-похідних, що визначаються парою $\overline{\psi} = (\psi_1, \psi_2)$ послідовностей $\psi_1$ i $\psi_2$. Зокрема, показано, що кожна функція $f,$ яка належить множині $\mathcal{D}^{\infty},$ має хоча б одну похідну, параметри якої $\psi_1$ i $\psi_2$ спадають до нуля швидше за будь-яку степеневу функцію, і водночас для будь-якої функції $f \in \mathcal{D}^{\infty}$, відмінної від тригонометричного полінома, знайдеться пара $\psi$, параметри $\psi_1$ i $\psi_2$ якої мають таку саму швидкість спадання i для якої $\overline{\psi}$-похідна вже не існує. Встановлено також нові критерії належності $2 \pi$-періодичних дійснозначних на дійсній осі функцій множинам аналітичних на осі та цілих функцій.