О критерии равномерной ограниченности C0-полугруппы операторов в гильбертовом пространстве

Анотація

Нехай $T(t),\quad t ≥ 0$, є $C_0$-півгрупою лінійних операторів, що діє у гільбертовому просторі $H$ з нормою $‖·‖$. Доведено, що $T(t)$ є рівномірно обмеженою, тобто $‖T(t)‖ ≤ M, \quad t ≥ 0$, тоді і тільки тоді, коли виконується умова $$\sup_{t > 0} \frac1t ∫_0^t∥(T(s)+T^{∗}(s))x ∥^2ds < ∞$$ для всіх $x ∈ H$, де $T^{*}$ — спряжений оператор.