Асимптотична поведінка власних значень та власних функцій задачі Фур'є в густому багаторівневому з'єднанні

Анотація

Розглядається спектральна крайова задача у плоскому дворівнєвому з'єднанні $\Omega_{\varepsilon}$, яке є об'єднанням області $\Omega_{0}$ та великого числа $2N$ тонких стержнів товщиною порядку $\varepsilon = \mathcal{O} (N^{-1})$. Тонкі стержні розділено на два рівні в залежності від їх довжини. Крім того, тонкі стержні з кожного рівня $\varepsilon$-періодично чергуються. На вертикальних сторонах тонких стержнів задано крайові умови Фур'є. Вивчено асимптотичну поведінку власних значень та власних функцій при $\varepsilon \rightarrow 0$, тобто коли число тонких стержнів необмежено зростає, а їх товщина прямує до нуля. Доведено хаусдорфову збіжність спектра при $\varepsilon \rightarrow 0$, побудовано перші члени асимптотики та обґрунтовано відповідні асимптотичні оцінки для власних значень та власних функцій.