Про асимптотичну поведінку розв'язків диференціальних систем

Анотація

Асимптогичній поведінці розв'язків диференціальних рівнянь присвячено чимало досліджень. У даній робогі проблему розглянуто з іншого боку, а саме, з точки зору швидкості асимптотичної збіжності розв'язків. Нехай $ϕ (t)$ скалярна неперервна монотонно зростаюча додатна функція, що прямує до ∞ при $t → ∞$. Встановлено, що якщо всі розв'язки диференціальної системи задовольняюсь нерівнісгь $$\left\| {x(t;t_0 ,\;x_0 )} \right\| \leqslant M\frac{{\varphi (t_0 )}}{{\varphi (t)}}\quad \operatorname{for} \;all\quad t \geqslant t_0 ,\quad x_0 \in \left\{ {x:\left\| x \right\| \leqslant \alpha } \right\},$$ то розв'язок $x(t; t_0, x_0)$ цієї диференціальної системи прямує до 0 швидше, ніж $M\frac{{\varphi (t_0 )}}{{\varphi (t)}}$.