Про співвідношення між кривизною, діаметром та об'ємом повного ріманового многовиду

Анотація

Доведено, що якщо $N$ — компактний цілком геодезичний підмноговид повного ріманового многовиду $(M, g)$ із секційною кривизною $K$, що задовольняє умову $K ≥ k > 0$, то для будь- якої точки $m ∈ M$ виконується нерівність $d(m,N) \leqslant \frac{\pi }{{2\sqrt k }}$. У випадку, коли $\dim M = 2$, гауссова кривизна К многовиду задовольняй умову $K ≥ k > 0$ та $γ$ мак довжину $l$, отримано 21 співвідношення $\text{Vol} (M, g) ≤ \frac{{2l}}{{\sqrt k }}$ для $k ≠ 0$ та $\text{Vol} (M, g) ≤ 2l \text{diam } (M)$ для $k = 0$.