Стійкість обмежених розв'язків диференціальних рівнянь з малим параметром у банаховому просторі

Анотація

Доведено, що для секторіальиого оператора $A$ зі спектром $σ(A)$, який діє на комплексному банаховому просторі $B$. Умова $σ(A) ∩ iR = Ø$ є достатньою для того, щоб диференціальне рівняння з малим додатним параметром $x_{ε}$ $$\varepsilon x_\varepsilon^\prime\prime(t)+x_\varepsilon^\prime(t)=Ax_\varepsilon(t)+f(t), t \in R,$$ мало єдиний обмежений розв'язок лє для довільної обмеженої функції $f: R → B$, що задовольняє певну умову Гельдера. Також встановлено, що при $ε → 0+$ обмежені розв'язки таких рівнянь збігаються рівномірно на $R$ до єдиного обмеженого розв'язку диференціального рівняння $x′(t) = Ax(t) + f(t)$.