Усиленно теореми сравнения и неравенства Колмогорова и их приложения

Анотація

Одержано посилений варіант теореми порівпяння Колмогорова. Це дозволило, зокрема, отримати підсилепу нерівність Колмогорова $$\left\| {x^{(k)} } \right\|_{L_\infty (R)} \leqslant \frac{{\left\| {\phi _{r - k} } \right\|_\infty }}{{\left\| {\phi _r } \right\|_\infty ^{1 - k/r} }}M(x)^{1 - k/r} \left\| {x^{(r)} } \right\|_{L_\infty (R)}^{k/r} ,$$ для функцій $x ∈ L_{∞}^x(r)$, де $$M(x): = \frac{1}{2}\mathop {\sup }\limits_{\alpha ,\beta } \left\{ {\left| {x(\beta ) - x(\alpha )} \right|:x'(t) \ne 0{\text{ }}\forall t \in (\alpha ,\beta )} \right\}{\text{,}}$$ $k,\; r ∈ N,\; k < r, ϕ_r$ — ідеальний сплайн Ейлера порядку $r$ за допомогою якої підсиленї нерівністі Бернштейпа для тригонометричних поліномів і нерівність Тихомирова для сплайнів. Наведено інші застосування цієї нерівності.