Ручні та дикі задачі про підпростори

Анотація

Нехай $B$ - скінченновимірна алгебра над алгебраїчно замкненим полем $k$, $B_d = \text{Spec} k[B_d]$ — афінна алгебраїчна схема, $R$-точки якої є $B ⊗_k k[B_d]$-модульними структурами на $R^d$ і $M_d$ — канонічний $B ⊗_k k[B_d]$-модуль на $k[Bd^]d$. Афінну підсхему $Ν$ схеми $B_d$ будемо називати вірною, якщо функтор $F_{gn} ∶ X → M_d ⊗_{k[B]} X$ індукує ін'єкцію між множинами класів ізоморфності нерозкладних скінченновимірних модулів над $k[Ν]$ і $B$. Якщо $B_d$, містить вірну площину для деякого $d$, то схеми $B_e$ містять вірні підсхеми довільної розмірності. У противному разі кожна ($B_d$ містить скінченну кількість вірних перфорованих прямих $L(d, i)$, для яких для будь-якого $n$ майже кожний нерозкладний $B$-модуль розмірності $n$ ізоморфний деякому $F_{L(d, i)} (X)$, причому модуль $F_{L(d, i)} (X)$ не ізоморфний $F_{L(l, j)} (Y)$, якщо ($(d, i) ≠ (l, j)$ та $X ≠ 0$. Доведення використовує редукцію до задач про підпростори, для яких індуктивний алгоритм дає змогу довести відповідні твердження.