Про одну властивість середніх арифметичних коливань монотонної послідовності

Анотація

УДК 517.5
Для числової послiдовностi $Y = \{y_i\}_{i=P+1}^Q$ (номери $P, Q \in \mathbb Z$ фiксованi, $P < Q$) розглянуто середнi арифметичнi коливання
\begin{equation*}
\Omega \big (Y;[p,q] \big )=\frac1{q-p}\sum\limits _{i=p+1}^q\left|y_i-\sigma \big (Y;[p,q] \big )\right|\!,
\end{equation*}
де  $\sigma \big (Y;[p,q] \big )=\displaystyle\frac1{q-p}\sum\nolimits _{i=p+1}^qy_i$— середнє арифметичне значення послiдовностi $Y$ на вiдрiзку $[p,q],$, номери $P \le p < q \le Q$ довiльнi. Такi коливання збiгаються iз середнiми iнтегральними коливаннями функцiї $f_Y =\sum _{i=P+1}^Qy_i\chi_{(i-1,i)}$ $(\chi_E$— характеристична функцiя множини $E)$

$$
\Omega(f_Y;[p,q])=\frac1{q-p}\int\limits _p^q\left|f_Y(x)-\sigma(f_Y;[p,q])\right|\,dx,
$$

$$
\sigma(f_Y;[p,q])=\frac1{q-p}\int\limits _p^qf_Y(x)\,dx,
$$

на вiдрiзках iз цiлочисловими межами.
Основний результат роботи полягає в тому, що для монотонної послiдовностi Y справджується рiвнiсть
\begin{equation*}
\max\limits _{ \{p,q\colon P\le p<q\le Q \}}\Omega \big (Y;[p,q] \big ) =
\max\limits _{\left\{r\in\mathbb Z\colon P\le r\le Q\right\}}\max\left\{\Omega \big (Y;[P,r] \big ),\Omega \big (Y;[r,Q] \big )\right\},
\end{equation*}
до того ж максимум у правiй частинi береться лише за всiма цiлими $r$. Якщо у цiй рiвностi замiсть $Y$ взяти $f_Y$ i, вiдповiдно, арифметичнi коливання замiнити середнiми iнтегральними коливаннями, а також вважати число $r$ у правiй частинi не обов’язково цiлим, то отриманий аналог такої рiвностi є вiдомим.