Задача Гаусса – Кузьміна для різницевого зображення дійсних чисел рядами Енгеля

Анотація

УДК 511.7+517.5

Нехай $x=\Delta_{g_{1}(x)\ldots g_{n}(x)\ldots}^{\bar E}$~--- різницеве зображення числа $x\in(0;1]$ рядом Енгеля (${\bar E}$-зображення), де $\Delta_{g_1\ldots g_n\ldots}^{\bar E}=\displaystyle\sum\nolimits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{(2+g_1)\ldots(2+g_1+\ldots+g_n)},$ $\omega^n(x)=\Delta_{g_{n+1}(x)g_{n+2}(x)\ldots}^{\bar E}$ — $n$-кратний оператор лівостороннього зсуву цифр $\bar E $-зображення числа $x.$  Для послідовності множин $E_n(a)=\left\{x\colon x\in(0;1),\omega^n(x)<a\right\},$ де $a$ — фіксований параметр з $\left(0;1\right],$ доведено, що $\lim_{n\to\infty}\lambda(E_n(a))=1,$ де $\lambda(\cdot)$ — міра Лебега. Дана задача є аналогом класичної задачі Гаусса–Кузьміна для елементарних ланцюгових дробів, проте їхні розв'язки суттєво відрізняються.