Schmidt rank and singularities
DOI:
https://doi.org/10.3842/umzh.v75i9.7227Ключові слова:
Schmidt rank, strength of a polynomial, singular locusАнотація
УДК 512.5
Ранг Шмідта та сингулярності
Ми знову звертаємося до теореми Шмідта, яка пов'язує ранг Шмідта тензора з корозмірністю певного многовиду, і наводимо доведення, адаптоване до випадку довільної характеристики. Крім того, отримано більш точний результат такого роду для однорідних поліномів за припущення, що характеристика не є дільником степеня. Потім ми використовуємо цей факт, щоб зв’язати ранг Шмідта однорідного полінома (відповідно, колекції однорідних поліномів однакового степеня) з корозмірністю сингулярного локуса відповідної гіперповерхні (відповідно, перетину гіперповерхонь). Це дає ефективну версію теореми Ананяна–Хохстера [J. Amer. Math. Soc., 33, No. 1, 291–309 (2020), Theorem A]
Посилання
K. Adiprasito, D. Kazhdan, T. Ziegler, On the Schmidt and analytic ranks for trilinear forms/em>; arXiv:2102.03659.
T. Ananyan, M. Hochster, Small subalgebras of polynomial rings and Stillman's conjecture, J. Amer. Math. Soc., 33, № 1, 291–309 (2020). DOI: https://doi.org/10.1090/jams/932
T. Ananyan, M. Hochster, Strength conditions, small subalgebras, and Stillman bounds in degree le4, Trans. Amer. Math. Soc., 373, № 7, 4757–4806 (2020). DOI: https://doi.org/10.1090/tran/8060
E. Ballico, A. Bik, A. Oneto, E. Ventura, Strength and slice rank of forms are genericaly equal; arXiv:2102.11549.
E. Ballico, A. Bik, A. Oneto, E. Ventura, The set of forms with bounded strength is not closed; arXiv:2012.01237.
J. M. Boardman, Singularities of differentiable maps, Publ. Math. Inst. Hautes 'Edutes Sci., 33, 383–419 (1967). DOI: https://doi.org/10.1007/BF02684585
A. D. R. Choudary, A. Dimca, On the dual and Hessian mappings of projective hypersurfaces, Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 101, 461–468 (1987). DOI: https://doi.org/10.1017/S0305004100066834
H. Derksen, The G-stable rank for tensors; arXiv:2002.08435.
D. Kazhdan, T. Ziegler, On the codimension of the singular locus; arXiv:1907.11750.
S. Kopparty, G. Moshkovitz, J. Zuiddam, Geometric rank of tensors and subrank of matrix multiplication; arXiv:2002.09472.
W. M. Schmidt, The density of integer points on homogeneous varieties, Acta Math., 154, № 3-4, 243–296 (1985). DOI: https://doi.org/10.1007/BF02392473
F. Zak, Structure of Gauss maps, Funct. Anal. and Appl., 21, 32–41 (1987). DOI: https://doi.org/10.1007/BF01077983
A. Cohen, G. Moshkovitz, Partition and analytic rank are equivalent over large fields; arXiv:2102.10509.
