Співіснування циклів неперервного перетворення прямої у себе

Анотація

УДК 517.9

Основний результат цього дослідження можна сформулювати так. Розглянемо множину натуральних чисел, у якій уведено відношення: $n_1$ передує $n_2$ $(n_1 \preceq n_2),$ якщо для будь-яких неперервних відображень дійсної прямої у себе існування циклу порядку $n_2$ випливає з існування циклу порядку $n_1.$ Справедлива така теорема.

Теорема. Уведене відношення перетворює множину натуральних чисел на впорядковану множину, до того ж упорядковану в такий спосіб: $$3 \prec 5 \prec 7 \prec 9 \prec 11 \prec\ldots \prec 3\cdot 2 \prec 5 \cdot 2 \prec \ldots \prec 3 \cdot 2^2$$ $$\prec 5 \cdot 2^2 \prec\ldots \prec 2^3 \prec 2^2 \prec 2 \prec 1.$$