Поводження субгармонічних функцій повільного зростання зовні виняткових множин

Анотація

УДК 517.53

Нехай $v$ – повільно зростаюча, необмежена на $[0,\,+\infty)$ функція, $u$ –субгармонічна в площині функція нульового порядку, $\mu$ – її міра Рісса, $n(t,u)=\mu\left(\{x\colon |x|\le t\}\right),$ $N(t,u)=\int_{1}^{t}n(\tau,u)/\tau d\tau,$ $n(r,u)=O(v(r)),$ $r\to+\infty.$ Множину $E \in \mathbb{C}$ назвемо $C_0^\beta$-множиною, $0 < \beta \le 1,$ якщо її можна покрити системою кругів $K(a_n,r_n)=\{z\colon |z-a_n| < r_n\}$ таких, що $\sum_{|a_n| \le r} r_n^\beta = o(r^\beta),$ $r\to+\infty.$ Тоді для довільної неспадної необмеженої на $[0,\,+\infty)$ функції $\phi$ існує $C_0^\beta$-множина $E$ така, що \begin{equation*}u(z)=N(r,u)+o(\phi(r)v(r)),\qquad r=|z|\to+\infty,\quad z \notin E.\end{equation*} Показано також, що у цій асимптотичній формулі залишковий член $o(\phi(r)v(r))$ не можна замінити на $O(v(r)).$