On the ergodicity of nonlinear Fokker–Planck flows in $L^{1}(\mathbb R^d)$

Анотація

УДК 517.9

Ергодичність нелінійних потоків Фоккера–Планка в $L^{1}(\mathbb R^d)$

Доведено, що нелінійна напівгрупа $S(t)$ у $L^1(\mathbb{R}^d),$ $d\ge 3,$ пов'язана з нелінійним рівнянням Фоккера–Планка $u_t-\Delta\beta(u)+{\rm div }(Db(u)u)=0,$ $u(0)=u_0,$ у $(0,\infty)\times\mathbb{R}^d,$ за відповідних умов на коефіцієнти $\beta\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R},$ $D\colon \mathbb{R}^d\to\mathbb{R}^d$ і $b\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ є середньою ергодичною. Зокрема, це означає середню ергодичність граничних за часом законів для розв'язків відповідного стохастичного диференціального рівняння Маккіна–Власова. Це доповнює результати, встановлені в роботі [V. Barbu, M. Röckner, The invariance principle for nonlinear Fokker–Planck equations, J. Different. Equat., 315, 200–221 (2022)], про природу відповідної омега-множини $\omega(u_0)$ для $S(t)$ у випадку, коли потік $S(t)$ у $L^1(\mathbb{R}^d)$ не має нерухомої точки, і тому відповідне стаціонарне рівняння Фоккера–Планка не має розв'язків.