Парно додатно визначені гіперболічно опуклі функції в гільбертовому просторі. Зображення гільбертового простору самоспряженими операторами

Анотація

УДК 517.98

Стаття складається з двох частин. У першій частині доведено інтегральне зображення парно додатно визначених (п.д.в.) гіперболічно опуклих функцій $k(x),$ $x\in H.$ Ці функції неперервні в $j$-топології. П.д.в. функції будемо розуміти в точковому сенсі. Ця теорема є модифікацією теореми Ю. М. Березанського, наведеної в [Ю. М. Березанський, І. М. Галі,  Укр. мат. журн., 24, № 4, 351–372 (1972)]. Інтегральні зображення для інших додатно визначених ядер розглянуто в [О. В. Лопотко, І. І. Рудинський, Укр. мат. журн., 34, № 3, 310–312 (1982)] та [О. В. Лопотко, Доп. АН України, Сер. А., 8, 11–13 (1991)].

У другій частині доведено інтегральне зображення гільбертового простору самоспряженими операторами $\mathcal{A}_x,$ які пов'язані алгебраїчними співвідношеннями. Для цього сконструйовано ланцюжок $H_{\kappa}=H_0\supset H_+=L_2\supset \mathcal{D}$ для $x\in H.$ Доведення базується на інтегральному зображенні п.д.в. гіперболічно опуклих функцій нескінченної кількості змінних [Ю. М. Березанський, Ю. Г. Кондратьєв, Спектральнi методи в нескiнченновимiрному аналiзi, Наукова думка, Київ (1988); О. В. Лопотко, Буковин. мат. журн., 11, № 1, 26–38 (2023)]. Інші форми таких узагальнень розглянуто в роботах [Ю. М. Березанський, А. А. Калюжний, Укр. мат. журн., 36, № 4, 417–421 (1984); А. А. Курепа, Canad. Math. J., 12, 45–50 (1960); Ю. С. Самойленко,  Спектральна теорія наборів самоспряжених операторів, Наукова думка, Київ (1984)].