Задача Боянова–Найдьонова та нерівності колмогоровського типу для функцій на дійсній осі

Анотація

УДК 517.5

Розв'язано задачу Боянова–Найдьонова $\big\|x^{(k)}\big\|_{q,\, \delta} \to \sup,$ $k= 1,\ldots ,r-1,$ $q \ge 1,$ на класах функцій $W^r_{p,\varepsilon}(A_0, A_r)\!:=\big\{x\in L^r_{\infty}\colon \|x\|_{p, \varepsilon} \le A_0 ,\ \big\|x^{(r)}\big\|_{\infty} \le A_r \big\},$ де $\|x\|_{p, \delta}:=\sup \big\{ \|x\|_{L_p[a,\, b]}\colon a, b \in {\rm \bf R},\ 0< b-a \le \delta \big\},$ $p, \delta > 0,$ $\varepsilon \in (0, \varepsilon_1 ],$ $\varepsilon_1 := \pi / \omega,$ а $\omega$ вибрано за умовою $A_0 = A_r \|\varphi_{\omega, r}\|_{p,\, \pi / \omega},$ $\varphi_{\omega, r}(t):=\omega^{-r}\varphi_{ r}(\omega t),$ $\varphi_{ r}$ – ідеальний сплайн Ейлера порядку $r.$ Встановлено, що ця задача еквівалентна задачі про точну константу $C = C(\lambda)$ в нерівності колмогоровського типу \begin{gather}\big\|x^{(k)}\big\|_{q,\, \delta} \leq C \|x\|_{p,\, \varepsilon}^{\alpha} \big\|x^{(r) }\big\|_\infty^{1-\alpha}, \quad x\in L^{r, \lambda}_{p,\varepsilon}, \tag{1}\end{gather} де $\alpha=\dfrac{r-k+1/q}{r+1/p},$ $L^{r, \lambda}_{p,\varepsilon}:= \{x\in L^r_{\infty}\colon \|x\|_{p,\, \varepsilon} = \|\varphi_{\lambda, r}\|_{p,\, \varepsilon}\cdot \big\|x^{(r)}\big\|_{\infty} \}, \;\lambda > 0.$ Зокрема, отримано точні на класах $L^{r, \lambda}_{p,\varepsilon}$ нерівності вигляду (1).

Розв'язано також задачу Боянова–Найдьонова на просторах тригонометричних поліномів та сплайнів і одержано теореми про взаємозв'язок цієї задачі з точними нерівностями бернштейнівського типу. Як наслідки доведено точні нерівності такого типу для поліномів і сплайнів.